Постановка динамической задачи гидроупругости для поплавкового гироскопа

Модель поплавкового гироскопа представлена на рис. 1. Корпус 1 прибора, торцевые диски 2, ротор 3 гиромотора являются абсолютно твердыми телами. Корпус 7 поплавка представляет собой замкнутую упругую цилиндрическую оболочку с ребрами жесткости в виде разрывного шпангоута на внутренней поверхности. Радиус ее координатной поверхности – R, а толщина оболочки h₀ < < R. Высота ребра h_р, угол раствора ребра 2θ ^*, а его длина ε _р. Ротор 3 гиромотора имеет опоры 5, в которых он может перемещаться относительно торцевых дисков 2. Торцевые диски соединены с оболочкой 7 жесткой заделкой. Наружная поверхность ребристой оболочки и поверхность поплавковой камеры образуют цилиндр в цилиндре длиной ℓ ₂ и ℓ ₁ и радиусами R₂ и R₁, соответственно. Для разгрузки своих опор 6 поплавок взвешен в тонком слое жидкости 4, заполняющей цилиндрическую щель, толщиной δ = R₁ – R₂. Торцевые щели выполнены так, что истечение жидкости в них отсутствует. Для слоя жидкости принята модель вязкой несжимаемой жидкости. Прибор установлен на основании, совершающем гармонические поступательные колебания.

Рис. 1. Вид поплавкового гироскопа с технологическими ребрами жесткости для крепления гиромотора

Введем в рассмотрение оси координат, связанные с абсолютно твердыми телами. Свяжем с центром масс корпуса прибора систему координат O₁X₁Y₁Z₁, систему координат O₂X₂Y₂Z₂ – с центром масс торцевых дисков поплавка, а с ротором гиромотора – O₃X₃Y₃Z₃. Положим, что перемещения вдоль осей O₁Y₁ и O₂Y₂ отсутствуют. Перемещения центра масс корпуса прибора обозначим x₀, z₀, центра масс торцевых дисков – x₁, z₁, а центра масс ротора – x₂, z₂.

Пусть центр масс торцевых дисков O₂, двигаясь относительно поплавковой камеры в плоскости O₁X₁Y₁ совпадает в данный момент времени с фиксированным относительно O₁X₁Y₁Z₁ полюсом О цилиндрической системы координат rθ y (рис. 2). За полярную ось примем прямую, проходящую через О и O₁ и наклоненную к оси O₁Z₁ под углом φ. Эксцентриситет ОO₁ обозначим через е < < δ. Оси декартовой системы координат, соответствующей цилиндрической системе, совпадают в данный момент времени с осями O₂X₂ и O₂Z₂. Цилиндрический зазор между стенкой камеры и корпусом поплавка на торцевых дисках определяется формулой [1…4] h = δ + ecosθ.

Следуя [3] введем в рассмотрение безразмерные переменные и параметры

ξ = (r – R₂)/2; ζ = 2у/ℓ ₂; ε *=2ε _р/ℓ ₂; θ _{безразм} = θ; τ = ω t; V_r = eω U_ξ; V_θ = eω U_θ/ψ; V_y = eω ℓ ₂U_θ/(ψ 2R₂);

p =+ P(ρ υ ω λ /ψ ²) – ρ R₂ω ²[cos(θ + φ ) +sin( θ + φ )]; Re = δ ²ω /υ; λ = е/δ < < 1; (1)

ψ = δ /R₂ < < 1; U = u_mU₁; V = v_mU₂; W = w_mU₃; a = (h₀/R)²/12; ,

где λ – относительный эксцентриситет; ψ – относительная ширина цилиндрической щели; – уровень отсчета давления; Р – безразмерное давление; ρ, υ - соответственно плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости; r₀, Е, m₀ – плотность, модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала корпуса поплавка, соответственно; Re – колебательное число Рейнольдса; u_m, v_m, w_m – амплитуды упругих перемещений оболочки-корпуса поплавка; V_r, V_θ, V_y – компоненты скорости жидкости; ω – частота колебаний.

Рис. 2. Цилиндрические и декартовы системы координат, связанные с корпусом прибора и поплавком

При этом, с учетом ψ < < 1, задача гидроупругости гироскопа представляет собой [3]:

- уравнения динамики слоя жидкости

(2)

- уравнения динамики ребристой оболочки-корпуса поплавка

(3)

- уравнения динамики абсолютно твердых тел прибора

, (4)

где ; ; ; ; ; Δ Н(ζ ) = H(ζ – ζ _p) – H[ζ – (ζ _p + ε *)]; Δ Н(θ ) = H(θ – θ _p) – H[θ – (θ _p + 2θ *)] + H[θ – (θ _p + π )] – H[θ – – (θ _p + π + 2θ *)]; H(ζ ), H(θ ) – функции Хевисайда по продольной и окружной координате, соответственно; , θ _р – координаты начала ребра; , , , , , – обобщенные усилия и моменты, действующие в координатной поверхности ребристой оболочки [3, 5, 6]; , , , , – коэффициенты жесткости и демпфирования опор ротора по осям O₂X₂ и O₂Z₂ соответственно; , , – коэффициенты жесткости опор поплавка по осям O₁X₁ и O₁Z₁ соответственно; m₂, m₃ – масса торцевых дисков и ротора, соответственно; , – соответственно окружное перемещение и прогиб корпуса поплавка вместе с гиромотором при y = 0 и θ + φ = 0; , – проекции силы, действующей на торцевые диски со стороны упругого корпуса поплавка, на оси O₁X₁ и O₁Z₁, соответственно.

Краевые условия на непроницаемых поверхностях поплавковой камеры и корпуса поплавка, условие жесткой заделки оболочки-корпуса поплавка и краевые условия в цилиндрической щели при ψ < < 1 имеют вид

(5)

Реакции, действующие на торцевые диски поплавка со стороны ребристой оболочки-корпуса поплавка, могут быть выражены с учетом уравнений динамики оболочки, через гидромеханические и инерционные силы и моменты [1…3]. В уравнениях динамики оболочки в левых частях стоят усилия и моменты, действующие в координатной поверхности оболочки, даламберовы силы инерции и силы инерции переносного ускорения. В их правых частях стоят напряжения, действующие со стороны слоя жидкости на внешнюю поверхность оболочки, но снесенные на ее координатную поверхность. Умножив уравнения (3) на соответствующие орты цилиндрической системы координат и сложив их, получим векторное уравнение. Проинтегрируем левую часть, этого уравнения, по координатной поверхности, а правую – по внешней поверхности оболочки. Проделаем аналогичную процедуру, предварительно векторно умножив левую часть уравнения на радиус-вектор точек срединой поверхности, а правую — на радиус-вектор точек внешней поверхности оболочки.

В результате получим выражение для силы, действующей на торцевые диски поплавка со стороны упругой оболочки-корпуса в проекциях на оси O₁X₁ и O₁Z₁

(6)

здесь m₇ = [1 + (1 – h₀/h_p)(h_p/h₀)ε ^*θ ^*/π ] – масса корпуса поплавка; – масса жидкости в объеме поплавка.

При этом проекции момента, действующего на торцевые диски поплавка со стороны упругой оболочки-корпуса в проекциях на оси O₂X₂ и O₂Z₂, запишутся как:

, , , (7)

здесь – проекции вектора момента, определяемого силами инерции геометрически нерегулярной оболочки; – проекций гидромеханического момента.

Проекции и имеют вид

(8)

(9)

Проекция представляет собой возмущающий момент , действующий со стороны жидкости через ребристую оболочку, на торцевые диски и приводящий к ложному повороту гироузла. Кроме того, согласно теореме о переносе центра приведения, поворот торцевых дисков также будет вызывать так называемый инерционный возмущающий момент, обусловленный смещением центра масс ротора гиромотора относительно центра масс торцевых дисков. С учетом уравнений динамики абсолютно твердых тел прибора (4) данный момент имеет вид:

. (10)

Математическое моделирование дрейфа нуля в поплавковом гироскопе

Учитывая сказанное, проведем расчет скоростей дрейфа < р₁>, < р₂> модели с упругим корпусом поплавка без ребер жесткости и абсолютно твердой рамкой поплавка и модели с упругим корпусом, имеющим технологические ребра жесткости. Рассмотрим линейную вибрацию, при которой , и круговую вибрацию, при которой , , для модели поплавкового прибора с параметрами: R₂ = 3·10^{-3 м, ℓ}₂ = 6, 8·10^{-2 м,}h₀ = 1, 3·10^{-3 м, Е = 2, 943·1011} Па, μ = 10^-2, ρ = ρ ₀ = 1, 84·10³кг/м³, δ = 10^{-4 м, υ = 1, 85·10-4} м²/с, m₂ + m₇ = 23, 58·10^{-2 кг,}m₃ = 8, 8·10^{-2 кг,}h_p = 1, 2·10^{-2 м, θ *} = π /4, ε _р = 4·10^{-2 м,}0 кг/c², 2, 51·10³кг/c², 3, 27·10⁷ кг/c², 98, 1 кг/c, Н = 0, 118 Н·м·с. Амплитуда переносного виброускорения принималась равной 1g.

Проведенные расчеты показали, что на скорости дрейфа < р₂> наличие ребер жесткости не оказывает значимого влияния и для рассматриваемых моделей они практически совпадают (отличие порядка 2-3%) во всем рабочем диапазоне частот вибрации. Графики скоростей дрейфа < р₂> при круговой вибрации представлены на рис. 3, а для случая линейной вибрации – на рис. 4.

С другой стороны расчеты скоростей дрейфа < р₁> показали положительное влияние ребер жесткости при круговой вибрации, выражающиеся в существенном их снижении, а при линейной вибрации – отрицательное, проявляющиеся в возрастании скорости дрейфа по сравнению с прибором имеющим геометрически регулярный поплавок с жесткой рамкой (см. рис.5). При круговой вибрации в модели с ребристым корпусом поплавка скорости дрейфа < р₁> оказываются в широком диапазоне частот на один-два порядка меньше, чем в модели с упругим геометрически регулярным корпусом поплавка. При линейной вибрации на низких и средних частотах скорости дрейфа < р₁>, в случае рассмотрения корпуса как оболочки с ребрами жесткости, оказываются больше, чем в случае представления его гладкой оболочкой (см. рис.6). Данная тенденция объясняется влиянием неравножесткости корпуса поплавка с технологическими ребрами жесткости.

Рис. 3. Скорости дрейфа, обусловленные моментом при круговой вибрации

Рис. 4. Скорости дрейфа, обусловленные моментом при линейной вибрации

Рис. 5. Скорости дрейфа, обусловленные моментом < L_гм> при круговой вибрации

1 – прибор с геометрически регулярным упругим корпусом поплавка;

2 – прибор с упругим корпусом поплавка с ребрами жесткости

Список литературы

1. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала XXI века // Гироскопия и навигация. 2003.№4.

2. Брозгуль Л.И. Смирнов Е.Л. Вибрационные гироскопы. М.: Машиностроение; 1970.

3. Новиков Л.З., Шаталов М.Ю. Механика динамически настраиваемых гироскопов. М.: Наука. 1985.

4. Власов Ю.Б., Филонов О.М. Роторные вибрационные гироскопы в системах навигации. Л.: Судостроение, 1980.

5. Пельпор Д.С., Матвеев В.А., Арсеньев В.Д. Динамически настраиваемые гироскопы. М.: Машиностроение, 1988.

6. Брозгуль Л.И. Динамически настраиваемые гироскопы. М.: Машиностроение, 1989,

7. Матвеев В.В.. Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем - СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 2009,

8. Репников А.В.. Сачков Г.П., Черноморский А.И. Гироскопические системы. – Машиностроение, 1983,

9. Джашитов В.Э., Панкратов В.М. Датчики, приборы и системы авиакосмического и морского приборостроения в условиях тепловых воздействий/Под общей редакцией акад. РАН В.Г. Пешехонова. – СПГ.: ЦНИИ «Электроприбор», 2005.

10. Полеткин К.В., Троицкий Р.Г., Черноморский А.И. Уменьшение температурного дрейфа датчика угловых скоростей на базе роторного вибрационного гироскопа компенсационного типа // Гироскопия и навигация. 2006. №3(54).

11 Тихонов В.А., Черноморский А.И. автономное определение дрейфов гироскопов бесплатформенной инерциальной навигационной системы // Авиакосмическое приборостроение. 2004.№1.с.24-27

12. Анучин О.Н., Емельянов Г.И. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов /Под общей редакцией акад. РАН В.Г. Пешехонова.- СПб.: ГНЦ РФ - ЦНИИ «Электроприбор», 2003.

13. Алешин Б.С., Афонин А.А., Веремеенко К.К., Плеханов В.Е., Тювин А.В., А.И. Черноморский и др. Ориентация и навигация подвижных объектов: современные навигационные технологии/под редакцией Алешина Б.С., Веремеенко К.К., Черноморского А.И. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 200

14. Лукьянов Д.П. Лазерные и волоконно-оптические гироскопы: состояние и тенденция развития // Гироскопия и навигация.1998.№4(23).

15. Федоров < /a// Шереметьев А.Г., Умников в.Н. Оптический квантовый гироскоп. – М.: Машиностроение, 1973.

16. Бычков С.И., Лукьянов Д.П., Бакаляр А.И. Лазерный гироскоп. М.: Советское радио, 1975. 421с.

17. Бурнашов М.Н., Филатов Ю.В. основы лазерной техники. – СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2000.

18. Галкин В.И. Перспективные гироскопы летательных аппаратов и их производство. – М.: МАТИ, 2005.

19. Серегин В.В., Кукулиев Р.М. Лазерные гирометры и их применение. – М.: Машиностроение. 1990.

20. Шереметьев А.Г. Волоконный оптический гироскоп. М.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2003.

21. Филатов Ю.В. волоконно-оптический гироскоп. – СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2003.

22. Окоси Т., Окамото К., Оцу м и др. Волоконно-оптические датчики. – Л.: Энергоатомиздат. 1991.

23. Новик А.Е. Газоразрядные лазеры. – М.: Радио и связь, 1982.

24. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. волновой твердотельный гироскоп. – М.: Наука, 1985.

25. Матвеев В.А.. Липатников В.И., Алехин А.В. Проектирование волнового твердотельного гироскопа. – М.: МГТУ им. Баумана, 1998.

26. Северов Л.А.Механика гироскопических систем. – М.: МАИ, 1996,

27. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. – М.: Радиотехника, 2005.

28. Распопов В.Я. Микромеханические приборы. М.: Машиностроение.2007.

29. Неаполитанский А.С., Хромов Б.В. Микромеханические вибрационные гироскопы. – М.: Когито-центр, 2002,

30. Пешехонов В.Г., Несенюк Л.П., Грязин Д.Г. и др. Микромеханический гироскоп. Разработанный в ЦНИИ «Электроприбор». Мехатроника, автоматика, управление. 2008. №2, с.29-31.

31. Мартыненко Ю.Г. Аналитическая динамика электромеханических систем. – М.: МЭИ, 1984.

32. Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов//вести РАН. МТТ.1997.№6.

33. Плеханов В.Е., Анчутин С.А. К оценке предельных погрешностей микромеханических гироскопов и акселерометров. «Авиакосмическое приборостроение». №12006.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112Следующая