Прямой центральный удар двух тел.

Удар называется прямым и центральным, если центры масс тел до удара двигались по одной прямой, по оси х, точка встречи их поверхностей оказывается на этой же прямой и общая касательная Т кповерхностям будет перпендикулярна оси х (рис.112).

Рис.112

Если касательная Т не перпендикулярна этой оси, удар называется косым

Пусть тела двигались поступательно со скоростями их центров масс и . Определим каковы будут их скорости и после удара.

За время удара на тела действуют ударные силы , импульсы которых, приложенные в точке касания, показаны на рис.112, б. По теореме об изменении количества движения, в проекциях на ось х, получим два уравнения

(1)

где и - массы тел; - проекции скоростей на ось х.

Конечно, этих двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных ( и S). Нужно еще одно, которое, естественно, должно характеризовать изменение физических свойств этих тел в процессе удара, учитывать упругость материала и его диссипативные свойства.

Рассмотрим сначала удар пластичных тел, таких, которые по окончании удара не восстанавливают деформированный объем и продолжают двигаться как одно целое со скоростью u, т.е. . Это и будет недостающее третье уравнение. Тогда имеем

(2)

Решив эти уравнения, получим

(3)

(4)

Так как величина импульса S должна быть положительной, то для того чтобы произошел удар, требуется выполнение условия .

Нетрудно убедиться, что удар пластичных, неупругих тел сопровождается потерей их кинетической энергии.

Кинетическая энергия тел до удара После удара Отсюда Или, учитывая (2), И, подставив значение импульса S, по (4), получим

(5)

Эта «потерянная» энергия расходуется на деформацию тел, на нагревание их при ударе, (можно убедиться, что после нескольких ударов молотком, деформированное тело сильно нагревается).

Заметим, что если одно из тел до удара было неподвижным, например , то потерянная энергия

(так как энергия тел до удара в этом случае была только у первого тела, ). Таким образом, потеря энергии, энергии затраченной на деформацию тел, составляет часть энергии ударяющего тела.

Следовательно, при ковке металла, когда желательно чтобы было побольше, отношение нужно сделать как можно меньше, . Поэтому наковальню делают тяжелой, массивной. Аналогично, при клепке какой-либо детали, молоток надо выбирать полегче.

И, наоборот, при забивании гвоздя или сваи в грунт, молоток (или бабу копра) надо брать потяжелее, чтобы деформация тел была меньше, чтобы большая часть энергии пошла на перемещение тела.

Перейдем теперь к удару упругих тел.

Ударный процесс таких тел происходит гораздо сложнее. Под действием ударной силы деформация их сначала увеличивается, увеличивается до тех пор пока скорости тел не уравняются. А затем, за счет упругости материала, начнется восстановление формы. Скорости тел начнут изменяться, изменяться до тех пор пока тела не отделятся друг от друга.

Разделим процесс удара на две стадии: от начала удара до того момента, когда скорости их уравняются и будут равными u; и от этого момента до конца удара, когда тела разойдутся со скоростями и .

Для каждой стадии получим по два уравнения:

(6)

(7)

где S₁ и S₂ – величины импульсов взаимных реакций тел для первой и второй стадий.

Уравнения (6) аналогичны уравнениям (2). Решая их, получим

В уравнениях (7) три неизвестные величины ( , S₂). Не хватает одного уравнения, которое опять должно характеризовать физические свойства этих тел.

Положим отношение импульсов . Это и будет дополнительное третье уравнение.

Опыт показывает, что величину k можно считать зависящей только от упругих свойств этих тел. (Правда, более точные эксперименты показывают, что есть некоторые зависимости и от их формы). Определяется этот коэффициент экспериментально для каждых конкретных тел. Называется он коэффициентом восстановления скорости. Величина его У пластичных тел k = 0, у абсолютно упругих тел k = 1.

Решая, теперь, уравнения (7) и (6), получим скорости тел после окончания удара.

(8)

Можно найти, как и при ударе пластичных тел, потерю кинетической энергии при ударе упругих тел. Она получится такой

(9)

Заметим, что при ударе абсолютно упругих тел (k = 1) кинетическая энергия не изменяется, не «теряется» ( ).

Пример 33. Металлический шарик падает с высоты h₁на горизонтальную массивную плиту. После удара он подскакивает на высоту h₂ (рис.113).

Рис.113

В начале удара о плиту проекция скорости шарика на ось х а скорость неподвижной плиты . Считая, что масса плиты , много больше массы шарика, можно положить u = 0 и u₂ = 0. Тогда по (8) . (Теперь, кстати, понятно почему коэффициент k называется коэффициентом восстановления скорости.)

Итак, скорость шарика в конце удара и направлена вверх (u₁> 0). Шарик подскакивает на высоту h₂, связанную со скоростью формулой Значит, и По последней формуле, кстати, и определяется коэффициент восстановления k для материалов, из которых сделаны шарик и плита.

Удар по вращающемуся телу.

При исследовании удара по вращающемуся телу кроме теоремы об изменении количества движения приходится использовать и закон моментов. Относительно оси вращения его запишем так и, после интегрирования за время удара , или где и - угловые скорости тела в начале и в конце удара, - ударные силы.

Правую часть надо немного преобразовать. Найдем, сначала, интеграл момента ударной силы относительно неподвижной точки О:

При этом предполагалось, что за малое время удара τ радиус-вектор считался неизменным, постоянным.

Проектируя результат этого векторного равенства на ось вращения z, проходящую через точку О, получим , т.е. интеграл равен моменту вектора импульса ударной силы относительно оси вращения. Закон моментов в преобразованном виде запишется, теперь, так:

. (10)

В качестве примера рассмотрим удар вращающегося тела о неподвижную преграду.

Тело, вращаясь вокруг горизонтальной оси О, ударяется о преграду А (рис.114). Определим ударные импульсы сил, возникающих в подшипниках на оси, и

Рис.114

По теореме об изменении количества движения в проекциях на оси х и у получим два уравнения:

где скорости центра масс С в начале и конце удара Поэтому первое уравнение станет таким

Третье уравнение, по (10), получится в виде из которого находим

И, так как коэффициент восстановления

то (в нашем примере поэтому ударный импульс S > 0, то есть направлен так, как показано на рисунке).

Находим импульсы реакции оси:

Обязательно надо обратить внимание на то, что при ударные импульсы в подшипниках оси будут равны нулю.

Место, точка удара, расположенная на этом расстоянии от оси вращения, называется центром удара. При ударе по телу в этом месте ударные силы в подшипниках не возникают.

Кстати, заметим, что центр удара совпадает с точкой где приложены равнодействующая сил инерции и вектор количества движения.

Вспомним, что при ударе длинной палкой по неподвижному предмету, мы нередко испытывали рукой неприятный ударный импульс, как говорят – «отбивали руку».

Нетрудно найти в этом случае центр удара – место, которым следует ударить, чтобы не почувствовать это неприятное ощущение (рис.115).

Рис.115

Так как (l – длина палки) и то

Следовательно, центр удара находится на расстоянии трети длины от конца палки.

Понятие центра удара учитывают при создании различных ударных механизмов и других конструкций, где встречаются ударные процессы.

Билет 18

1 вопрос-внутренние усилия, деформации и их связь

Внутренние усилия.

Q - поперечная сила

Ми - момент изгибающий

Мк - момент крутящий

N - продольная сила

В материале под действием внешних сил возникают внутренние силовые факторы. Как факторы сопративления внешним воздействиям.

Силовые факторы:

N - продольное усилие оно всегда направлено по оси стержня.

Q - поперечная сила, она лежит в плоскости поперечного сечения.

Ми - изгибающий момент. Пара сил лежащих в плоскости сечения и работающая относительно оси в этом сечение (Mz, My).

Мк - крутящий момент, парасил лежащих в плоскости попересного сечения (Mz). Внутренние усилия.

Q - поперечная сила

Ми - момент изгибающий

Мк - момент крутящий

N - продольная сила

Силовые факторы:

N - продольное усилие оно всегда направлено по оси стержня.

Q - поперечная сила, она лежит в плоскости поперечного сечения.

Мк - крутящий момент, парасил лежащих в плоскости попересного сечения (Mz).

Для определения любого внутреннего усилия используется метод сечений, который включает в себя 4 действия.

1) Режим стержень сечением MN на 2 части.

2) Отбрасываем одну из частей.

3) т.к. элемент находится в равновесии, то заменим действие отброшенной части внутренним силовым фактором.

4) Уравновешиваем оставшуюся часть уравнениями статики

-Р+N=0

N=P

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 11 12 Следующая