Основные типы задач при расчете на прочность

Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня и установив допускаемое напряжение в соответствии с соображениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемыми:

(5.17)

Здесь имеется, в виду допускаемое напряжение на растяжение или на сжатие, в зависимости от того, растяжение или сжатие имеет место.

Неравенство (5.17), представляющее собой условие прочности при растяжении (сжатии), позволяет решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т. е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ±5%. Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала. Этот вид расчета на прочность называется проверочным.

2. Определять (по известным нагрузке и допускаемому напряжению) размеры поперечного сечения стержня, требуемые по условию его прочности, т.е. выполнять проектировочный расчет.

3. Определять допускаемую продольную силу по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению.

Определив допускаемую продольную силу и установив связи между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни кроме расчета на прочность в наиболее ослабленном сечении должны также рассчитываться на устойчивость, так как при определенном значении сжимающей силы может произойти выпучивание (продольный изгиб) сжатого стержня.

Исходя из условия прочности при растяжении-сжатии, можно решать задачи всех трех типов: подбор размеров поперечного сечения, проверку прочности, определение допускаемой нагрузки.

2 вопрос - Ускорение Кореолиса.

Ускорение в сложном движении находится по теореме Кореолиса:

Ускорение Кореолиса выражает взаимное влияние переносного и относительного движения т.е изменение скорости переносного движения по модулю из-за наличия относительного движения, а также изменение относительной скорости по направлению из-за переносного вращательного движения.

Ускорение =0, если:

1) Поступательное движение, то

2) Оба вектора ( направлены в одну сторону, то ускорение не действует.

Билет 3

1 вопрос – диаграмма растяжения

Рассмотрим диаграмму растяжения, которая показывает зависимость между растягивающей силой P, действующей на образец, и вызываемой ею деформацией Δ l (рис. 1)

На диаграмме можно указать пять характерных точек:

Рис.1 Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

Прямолинейный участок диаграммы ОА указывает на пропорциональность между нагрузкой Р и удлинением Δ l. (Эта пропорциональность впервые была замечена в 1670 г. Робертом Гуком и получила в дальнейшем название закона Гука).

Величина силы Р_пц (точка А), до которой остается справедливым закон Гука, зависит от размеров образца и физических свойств материала.

Если испытуемый образец нагрузить растягивающей силой, не превышающей величину ординаты точки B (силы P_y ), а потом разгрузить, то при разгрузке деформации образца будут уменьшаться по тому же закону, по которому они увеличивались при нагружении. Следовательно, в этом случае в образце возникают только упругие деформации.

В случае, если растягивающее усилие выше P_y, при разгрузке образца деформации полностью не исчезают и на диаграмме линия разгрузки будет представлять собой прямую B'О', уже не совпадающую с линией нагружения, а параллельную ей. В этом случае деформация образца состоит из упругой Δ l_упр^B' и остаточной (пластической) Δ l_ост^B' деформации.

Таким образом, характерной особенностью точки B является то, что при превышении нагрузки P_y образец испытывает остаточные деформации при разгружении.

Выше точки В диаграмма растяжения значительно отходит от прямой (деформация начинает расти быстрее нагрузки, и диаграмма имеет криволинейный вид), а при нагрузке, соответствующей Р_т (точка С), переходит в горизонтальный участок. В этой стадии испытания в материале образца по всему его объему распространяются пластические деформации. Образец получает значительное остаточное удлинение практически без увеличения нагрузки.

Свойство материала деформироваться при практически постоянной нагрузке называется текучестью. Участок диаграммы растяжения, параллельный оси абсцисс, называется площадкой текучести.

В процессе текучести на отшлифованной поверхности образца можно наблюдать появление линий (полос скольжения), наклоненных примерно под углом 45° к оси образца (рис. 2а). Эти линии являются следами взаимных сдвигов кристаллов, вызванных касательными напряжениями.

Рис.2 Образование линий сдвига (а) и местного сужения—шейки (б)

Линии сдвига называются линиями Чернова по имени знаменитого русского металлурга Д. К. Чернова (1839 - 1921), впервые обнаружившего их.

Удлинившись на некоторую величину при постоянном значении силы, т.е. претерпев состояние текучести, материал снова приобретает способность сопротивляться растяжению (упрочняться), и диаграмма поднимается вверх, хотя гораздо более полого, чем раньше. В точке D усилие достигает максимального значения P_max.

Наличие участка упрочнения (от конца площадки текучести до наивысшей точки диаграммы растяжения) объясняется микроструктурными изменениями материала: когда нагрузка на образец возрастает, микроскопические дефекты (линейные и точечные) группируются так, что развитие сдвигов кристаллов, вызванных касательными напряжениями, затрудняется, а потому сопротивление материала сдвигу начинает возрастать и приближаться к его сопротивлению отрыву.

При достижении усилия P_max на образце появляется резкое местное сужение, так называемая шейка (рис. 2б), быстрое уменьшение площади сечения которой вызывает падение нагрузки, и в момент, соответствующий точке К диаграммы, происходит разрыв образца по наименьшему сечению шейки.

До точки D диаграммы, соответствующей P_max, каждая единица длины образца удлинилась примерно одинаково; точно так же во всех сечениях одинаково уменьшались поперечные размеры образца. С момента образования шейки вся деформация образца локализуется на малой длине (l_ш~ 2d₀) в области шейки, а остальная часть образца практически не деформируется.

Абсциссы диаграммы растягивания OE, OF и FE, характеризующие способность образца деформироваться до наступления разрушения, соответствуют полному абсолютному удлинению образца Δ l_полн, остаточному абсолютному удлинению Δ l_ост и абсолютному упругому удлинению образца Δ l_упр.

Для определения упругой деформации в момент разрыва необходимо из точки K диаграммы провести прямую KF, параллельную прямолинейному участку OA, так как упругие деформации при разрыве также подчиняются закону Гука.

Хрупкие материалы, типичным представителем которых является чугун, дают диаграмму растяжения иного характера (рис. 3).

Рис.3 Диаграмма растяжения чугуна

Чугун разрушается внезапно при весьма малых деформациях, составляющих порядка (0, 5-0, 6)% от расчетной длины образца l₀, и без образования шейки. Диаграмма при этом не имеет явно выраженного прямолинейного участка (отклонение от закона Гука начинается очень рано), площадки текучести и зоны упрочнения.

При испытании на растяжение хрупких материалов определяют, как правило, только максимальную нагрузку P_max.

Обычно при практических расчетах для хрупких материалов отклонение от закона Гука не учитывают, т. е. криволинейную диаграмму заменяют условной прямолинейной диаграммой.

2 вопрос - Вращательное движение твердого тела. Закон движения.

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела.

Пусть точки A и B неподвижны. Вдоль оси вращения направим ось . Через ось вращения проведём неподвижную плоскость и подвижную , скреплённую с вращающимся телом (при ).

Положение плоскости и самого тела определяется двугранным углом между плоскостями и . Обозначим его . Угол называется углом поворота тела.

Положение тела относительно выбранной системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени, если задано уравнение , где - любая дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называется уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Рис. 4-4

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введём понятия угловой скорости и углового ускорения.

Билет

1 вопрос-Сила упругости. Закон Гука

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости.

Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия (рис. 1.12.1).

Рисунок 1.12.1. Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). Внешняя сила

При малых деформациях (|x| < < l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации:

F_x = F_упр = –kx.

Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жесткостью тела. В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жесткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме. Отношение ε = x / l называется относительной деформацией, а отношение σ = F / S = –F_упр / S, где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ:

Коэффициент E в этой формуле называется модулем Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Модуль Юнга различных материалов меняется в широких пределах. Для стали, например, E ≈ 2·10¹¹ Н/м², а для резины E ≈ 2·10⁶ Н/м², т. е. на пять порядков меньше.

Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рис. 1.12.2).

Рисунок 1.12.2. Деформация изгиба.

Упругую силу действующую на тело со стороны опоры (или подвеса), называют силой реакции опоры. При соприкосновении тел сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения. Поэтому ее часто называют силой нормального давления. Если тело лежит на горизонтальном неподвижном столе, сила реакции опоры направлена вертикально вверх и уравновешивает силу тяжести: Сила с которой тело действует на стол, называется весом тела.

В технике часто применяются спиралеобразные пружины (рис. 1.12.3). При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент k называют жесткостью пружины. В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром. Следует иметь в виду, что при растяжении или сжатии пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба.

Рисунок 1.12.3. Деформация растяжения пружины.

В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней (или проволок) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов относительная деформация ε = x / l не должна превышать 1 %. При больших деформациях возникают необратимые явления (текучесть) и разрушение материала.

Модель. Закон Гука

Упругость и пластичность. Закон Гука

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения

(1)

Рис.1. Одноосное напряженное состояние

Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

(2)

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений.

Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением , , соответственно имеют вид

	(3)
	(4)

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

(5)

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

(6)

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

(7)

Рис.2. Плоская деформация сдвига

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвигаG через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а.Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

откуда

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

(8)

Сложим три соотношения упругости (5)

(9)

В итоге получим

Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату

Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

С использованием равенства (9) будем иметь

откуда

Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим

(10)

Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение

2 вопрос - Сложное движение точки. Абсолютное, относительное и переносное движения.

Если тело движется по разным траекториям, то применяется приём: наложение двух видов движения, для этого вводится подвижная система отсчета.

Сложное (Абсолютное) движение – это движение тела относительно неподвижной системы отсчета.

Сложное движение раскладывается:

1) Переносное (это движение подвижной системы отсчета от неподвижной)

2) Относительное (это движение тела относительно подвижной системы отсчета)

Билет 5

1 вопрос - Система сходящихся сил. Условие равновесия.

Сходящиеся силы - это такие силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Примером является солнечная система ( силы действующие на солнце).

Правило многоугольника- мы строим его из векторов сил, равнодействующая является замыкающей.

Условия равновесия:

1) Геометрическое: ; ( Графически это выражается тем, что мн-к должен быть замкнут)

2) Алгебраическое(координатное): ;

2 Вопрос - Первая или прямая задача динамики

Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу.

Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси координат

Зная проекции силы на оси координат, определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:

Пример 1: Движение точки в плоскости xOy определяется уравнениями:

; ; ; время.

Решение: ;

;

; .

- Уравнение траектории в координатной форме (эллипс).

;

Пример 2: Точка, имеющая массу , движется из состояния покоя по окружности радиуса с постоянным касательным ускорением . Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние .

Решение: Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:

; ; ;

Так как , то ,

; ;

; следовательно ;

; следовательно

Билет

1 вопрос- Оценка прочности

Вид формул, полученных для динамического коэффициента, показывает, какие большие качественные различия ведет за собой количественное изменение периода действия силы на тело.

Рассмотрим некоторые случаи удара при простейших деформациях. При этом для нахождения коэффициента динамичности применим основные полученные формулы для динамического коэффициента.

Для определения , и используем зависимости:

В случае продольного растягивающего или сжимающего удара (Рис 1)

Рис.1. Модель продольного удара.

Для вычисления динамического коэффициента может быть выбрано одно из следующих выражений:

После этого без затруднений вычисляются , и .

Приближенная формула для вычисления напряжений в данном частном случае получает такой вид:

Замечаем, что как при статической, так и при динамической нагрузке напряжение в сжатом стержне зависит от величины сжимающей силы и от площади поперечного сечения стержня.

Но при статическом действии груза Q передающаяся на стержень сила равна Q и не зависит от размеров и материала стержня, при ударе же величина силы , вызывающей напряжения в стержне, зависит от ускорения, передающегося от ударяемого тела на ударяющее, т. е. от величины промежутка времени, в течение которого изменяется скорость ударяющего тела. В свою очередь этот промежуток времени зависит от величины динамической продольной деформации , от податливости стержня. Чем эта величина больше, т. е. чем меньше модуль Е и чем больше длина стержня l, тем больше продолжительность удара, меньше ускорение и меньше давление .

Таким образом, при равномерном распределении напряжений, одинаковом во всех сечениях стержня, динамическое напряжение будет уменьшаться с увеличением площади поперечного сечения стержня и с увеличением его податливости (т. е. с увеличением длины и уменьшением модуля упругости Е); именно поэтому смягчают удар всякие рессоры и пружины, расположенные между ударяющимися деталями. Все это и отражают приведенные выше формулы. В частности, с известным приближением можно считать, что при продольном ударе величина напряжений зависит уже не от площади, а от объема стержня.

Вычислив величину динамического напряжения, мы можем теперь написать условие прочности в виде

где [ ]—допускаемая величина нормальных напряжений при ударе, равная для пластичного материала . Величину коэффициента запаса можно было бы выбрать равной величине основного коэффициента запаса при статическом действии нагрузок, так как динамичность нагрузки уже отражена. Однако, ввиду некоторой упрощенности изложенного метода расчета, этот коэффициент принимают несколько повышенным — до 2. Кроме того, обычно в этих случаях применяют материал более высокого качества (в отношении однородности и пластических свойств).

При изгибе величина статической деформации , представляющей собой статический прогиб балки с в месте удара, зависит от схемы нагружения и условий опирания балки.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Следующая