СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Если силы произвольно располагаются в пространстве (рис. 30 ), по плоскости поворота различны и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости ОАВ можно определить, задавая вектор-нормаль перпендикулярный (плоскости) ей. Если модуль этого вектора выбирать равным модулю момента силы, то направив его так, чтобы он показывал направление поворота силы, получим, что все три условия будут выполнены.

Итак: момент силы F относительно центра О изображается приложенным в центре О вектором , равным по модулю произведению модуля силы на плечо h и перпендикулярным плоскости ОАВ, проходящей через и О. Направлять вектор будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против ходa часовой стрелки.

Выразим момент силы с помощью векторного произведения. По определению векторное произведение равно

так как то же равен .

Направлен вектор перпендикулярно плоскости ОАВ как и вектор . Следовательно векторы и совпадают как по величине так и по направлению, то есть изображают одну и ту же величину. Отсюда

где радиус вектор точки А относительно центра О.

То есть, момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точку О с точкой приложения силы А, на саму силу.

Рассмотрим теперь момент силы относительно оси (рис. 31 ).

Пусть данное тело вращается вокруг оси Oz и пусть сила приложена в точке А. Проведем через точку А плоскость (ху) перпендикулярную Oz. Разложим силу на две составляющие и . Составляющая параллельна оси Оz и не может повернуть тело вокруг Oz. Таким образом, вращение дает составляющая и

Для принадлежащей плоскости Оxy и перпендикулярной оси Oz вращательный эффект равен произведению модуля силы на плечо h. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки (центра) О.

Следовательно:

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Если с вершины оси Oz вращение тела видим против хода часовой стрелки, то момент берем со знаком плюс (+), иначе - знак минус (-).

Замечания:

1. Если сила параллельна оси, то ее момент равен нулю.

2. Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент равен нулю.

3. Если сила перпендикулярна оси, то ее момент равен произведению модуля силы на расстояние до оси.

Для получения аналитического выражения моментов силы относительно осей координат, спроектируем силу на плоскость Оху и разложим на составляющие и . (рис. 32 )

Аналогично можно записать для двух других осей.

Рассмотрим каким же образом осуществляется зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.

Пусть в точке А на тело действует сила (рис. 33 ).

Моментом силы относительно произвольной точки О лежащей на оси Z, будет вектор перпендикулярный плоскости ОАВ.

Проведем через плоскость ху перпендикулярную . Спроектируем на плоскость :

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

2 вопрос- работа

Работа силы. Мощность.

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы.

Рис.16

При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы (рис.16) называется скалярная величина:

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а -бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о характеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая , сообщающая точке касательное ускорение Составляющая же или изменяет направление вектора скорости v(сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном движение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляющая влиять не будет, т.е., как говорят, сила «не будет производить работу».

Замечая, что , получаем:

. (1)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа .

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа .

Если угол , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие , , по направлениям координатных осей (рис.17; сама сила на чертеже не показана).

Рис.17

Элементарное перемещение слагается из перемещений , , вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М. Тогда работу силы на перемещении можно вычислить как сумму работ её составляющих , , на перемещениях , , .

Но на перемещении совершает работу только составляющая , причем её работа равна . Работа на перемещениях и вычисляется аналогично. Окончательно находим: .

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

или

Следовательно, работа силы на любом перемещении М₀М₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М₀ и М₁.

Рис.18

Если величина постоянна ( = const), то и обозначая перемещение М₀М₁ через получим: .

Такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F= const), а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис.18}. В этом случае и работа силы .

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 hm).

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112Следующая