Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюрыпоперечных сил Q_yи изгибающих моментов М_х – это графики изменения их значений вдоль балки. Они позволяют получить максимальные значения сил Q_yмоментов М_х, необходимых для расчёта.

Построение эпюр Q_yи М_х выполняют по значениям поперечных сил Q_yи изгибающих моментов М_х, полученных по грузовым участкам балки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты и силы, или имеется начало и конец распределённой нагрузки.

Для каждого участка применяется правило РОЗУ метода сечений:

1) Р азрезать балку на 2 части.

2) О тбросить одну из частей.

3) З аменить воздействие отброшенной части на оставленную усилиями Q_yи М_х.

4) У равновесить внешнюю нагрузку и внутренние усилия Q_yи M_x, составив два уравнения равновесия отсечённой части:

(5.4)

Заметим, что здесь за точку О выбираем центр тяжести текущего сечения, и составляем уравнение моментов относительно этой точки от всех воздействий, действующих на оставленную часть балки.

Разобьём балку на два грузовых участка(рис. 5.4, а) и рассмотрим вычисление усилий Q_yи M_xна каждом.

1-й участок: , где z₁– координата текущего сечения.

Рассмотрим кусок первого участка балки длиной z₁, расположенный по левую сторону от сечения. В сечении возникают изгибающие моменты М_х¹ и поперечные силы Q_y¹, которые предполагаем положительного направления: поперечная сила положительна, если её вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент M_xв сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной вниз.

а б в г

Рис. 5.4

Слева от сечения расположена только сила R_A(рис. 5.4, б), поэтому записываем:

, .

Выражение поперечной силы Q_y¹не содержит переменных, следовательно, значение Q_yпостоянно и равно 14, 4 кН. Отложим вверх от базисной линии это значение в масштабе и построим на 1-м участке эпюры Q_yпрямоугольник (рис. 5.4, в).

Выражение М_х¹ соответствует уравнению прямой. Подсчитаем величины моментов при граничных значениях (z₁= 0 и z₁= l):

При z= 0 ; при м кН∙ м.

На базисной линии отложим эти значения и проводим наклонную прямую эпюры M_х на 1-м участке (рис. 5.4, г).

Рассмотрим 2-й участок: . Возьмём участок балки слева от сечения и по (5.2) получаем

Подсчитаем и для граничных значений :

при z₂= 0

приz₂= 3 м кН; .

По этим значениям построим эпюры Q_yи M_xна 2-м участке.

Сила изменяется линейно. Отложим в начале участка кН и в конце кН и соединим эти точки наклонной прямой (рис. 5.4, в), прямая пересекла базисную линию в точке К.

Так как функция момента имеет второй порядок по отношению к переменной z₂(это результат наличия распределённой нагрузки на этом участке), то при изображении момента должны изобразить параболу.

Уточним вид этой параболы с помощью эпюры Q_y и выражения (5.1), записанное по теореме Д.И. Журавского об интегрально-дифференциальной зависимости функций Q_y и М_x. Пересечение наклонной линии Q_y с базисной прямой в точке К вносит следующую поправку в изображение параболы: в точке К получается перегиб кривой, т.е. момент получает экстремальное значение .

Необходимо найти этот момент. Для вычисления сначала определим абсциссу этого сечения (рис. 5.4, в), составив уравнение :

Отсюда получаем

м.

Теперь подсчитаем значение экстремального момента . Подставим в выражение момента М₂ вместо z₂ значение 1, 52 м:

кН·м.

Отложим полученные значения моментов в начале, в конце участка и в сечении К, построим на эпюре моментов параболу (рис. 5.4, г).

Так как целью построения эпюр является получение максимального (расчётного) значения M_max, то выписываем

M_max=28, 8кН·м.

Подбор сечений

Подберём размеры указанных трёх вариантов сечений: двутавровое, кольцевое и коробчатое.

Подбор выполняем, используя условие прочности по допускаемым напряжениям (5.2). Из этого условия при значении момента M_max= 28, 8 кН·м и допускаемом напряжении [s]=200 Мпа найдём требуемое значение момента сопротивления сечения W_x:

Выполним подбордвутаврого сечения балки, длякоторого момент сопротивления поперечного сечения

По таблице ГОСТ 8239-89 (см. табл. П.4 Приложения) выбираем двутавр № 18, для которого

Выполним подбор диаметра кольцевого сечения балки, длякоторого выражение момента сопротивления сечения имеет вид:

где имеем согласно рисунку задаваемого сечения (рис. 5.2) отношение внутреннего диаметра к внешнему

= 0, 6.

Так как момент сопротивления W_x≥ 144 см³, то требуемый диаметр кольцевого сечения

≈

Принимаем диаметр кольцевого сечения d= 12см.

Коробчатое сечениедолжно иметь то же значение момента сопротивления W_x≥ 144 см³.

Запишем выражение момента сопротивления коробчатого сечения используя (5.3). Сечение состоит из двух прямоугольников размерами b 2bи 0, 6b 1, 2b.

Тогда

где ̶ моменты инерции прямоугольников, вычисляемые по формуле .

Из полученного выражения момента сопротивления W_xнайдём требуемое значение b:

= .

Принимаем b= 6, 5 см.

Сравним расход материала по площади поперечного сечения.

Для двутавра № 18 площадь сечения по таблице ГОСТ 8239-89 (см. табл. П.4)

Для кольцевого сечения диаметром d= 12см площадь сечения

Для коробчатого сечения с b= 6, 5 см площадь сечения

Двутавровое сечение, как сечение с меньшей площадью, принимаем за более экономичное.

Таблица 5.1. Исходные значения к задаче 5

Номер варианта	Длина участков, м	Интенсивность нагрузки, кН/м	Сила, кН	Сосредоточенный момент, кН∙ м
l₁	l₂	q₁,	q₂,	P₁	P₂	М₁	М₂
	2, 8	2, 2						-32
	2, 0	2, 6		-12	-22
	3, 0	1, 8
	1, 9	2, 8				-13	-20
	2, 8	2, 0
	2, 5	3, 0	-17			-25
	3, 0	2, 0
	2, 2	2, 8		-15	-26			-28
	2, 5	2, 5					-26
	2, 0	2, 5	-18
	2, 5	2, 6				-20	-24
	2, 2	3, 0
	2, 5	2, 2		-28
	2, 3	2, 8			-14
	1, 8	3, 0	-26				-33
	3, 0	1, 5			-27			-40
	1, 5	2, 5	-30		-12
	2, 5	1, 2	-12	-24
	1, 2	3, 0		-12				-32
	3, 0	1, 7	-10
	1, 6	2, 4						-25
	2, 4	1, 9		-20	-10
	1, 8	2, 6	-15	-25
	2, 6	1, 9	-30					-32
	1, 8	2, 8		-10			-42
	2, 7	2, 5			-15
	2, 2	2, 8	-45			-20		-13
	2, 8	2, 5		-15				-36
	3, 0	1, 5			-18
	2, 3	1, 8	-19				-16

Задача 6
Подбор диаметра вала при изгибе с кручением

Условие задачи

Стальной вал, схемы которого занесены в табл. 6.1, передаёт заданную мощность при известной угловой скорости ω. Исходные значения мощности N, угловой скорости ω, длины l, диаметра D₁даны в табл. 6.2.

Требуется:

Используя IV теорию прочности, подобрать диаметр вала, приняв допускаемое напряжение [σ ] = 180 МПа.

Значение диаметра вала должно быть принятым из стандартного ряда по ГОСТ 6636-60:

10; 10, 5; 11; 11, 5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 33; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130 мм и далее через 10 мм.

Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая