Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка производная F'(х) равна данной функции.

Определение. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dх и обозначается символом

Согласно определению неопределенного интеграла

= F(х) + С, где F'(х) = f(x) и С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d = f(x)dх.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции с точностью до произвольной постоянной.

= F(х) + С.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная k 0, то

= k .

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т.е.

Пример: Для функции у = 3х²- 4 найти первообразную, график которой проходит через точку М (-2; 5).

Решение.

Так как (х³– 4х)' = 3х²– 4, то функция у = х³– 4х является первообразной для функции у = 3х²– 4 на всей числовой оси. Тогда функции вида у = х³– 4х + С также являются первообразными для данной функции. Выберем из этого семейства ту функцию график которой проходит через точку М (-2; 5). Постоянная С должна удовлетворять уравнению

(-2)³ – 4 ∙ (-2) + С = 5.

Отсюда С = 5. Следовательно, у = х³– 4х + 5 – искомая первообразная.

Ответ: у = х³– 4х + 5 – искомая первообразная.

Таблица простейших неопределенных интегралов

Каждое из приведенных ниже равенств рассматривается в области, на которой подынтегральная функция и ее первообразная непрерывны. В правых частях равенств С – произвольная постоянная.

1.	(п -1).	7.	= tg x + C.
2.	= ln \|х\| + С (х 0).	8.	= - ctg x + C.
3.	= е^х + С.	9.	= arcsin x + C.
4.	= + С (а > 0, а 1).	10.	= arctg x + C.
5.	х dx = sin x + C.	11.	= + C.
6.	x dx = - cos x + C.	12.	+ C (а 0).

Чтобы найти неопределенный интеграл, достаточно свести его к табличным. Это возможно сделать преобразовав подынтегральное выражение.

Пример: Найти .

Решение.

Применяя свойства неопределенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы табличных интегралов.

= 5 – 3 + 2 .

Воспользуемся формулами 1, 2, 6.

= 5∙ – 3∙ (-cos x) + 2∙ ln|x| + C = x⁵ + 3cos x + 2ln|x| + C.

Основные методы интегрирования

Интегрирование методом разложения

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов.

Пример 1. Найти dx.

Решение.

dx = – 2 + = ∙ – 2х + + С.

Таким образом, dx = – 2х + + С.

Пример 2. Найти .

Решение.

Преобразуем числитель дроби, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

Тогда

= = = + = = tg x – ctg x + C.

Интегрирование методом замены переменной

Для нахождения интеграла можно заменить переменную х новой переменной t, связанной с х подходящей формулой х = φ (t). Определив dх = φ '(t)dt и подставляя в данный интеграл, получим формулу замены переменной в неопределенном интеграле

= = .

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования t будет найден, то, преобразовав результат к переменной х, пользуясь исходной формулой х = φ (t), получим искомое выражение заданного интеграла.

Пример. Найти .

Решение.

Положим х = t², тогда dх = 2tdt. Проведем замену переменной.

= = 2 = 2 = 2 = 2 – 2 = = 2t – 2 ln| 1 + t | + C.

Возвращаясь к переменной х, находим:

= 2 – 2 ln| 1 + | + C.

Интегрирование по частям

Из формулы дифференциала произведения d(UV) = UdV + VdU интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям

= – .

При этом отыскание интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен.

Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу следует подынтегральное выражение f(x)dx представить в виде произведения двух множителей: U и dV; за dV выбирается такое выражение, содержащее dx, из которого посредством интегрирования можно найти V; за U в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается.

Пример. Найти arctg x dx.