Применение определителей к исследованию и решению системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +... + а_1пх_п = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +... + а_2пх_п = b₂,

............

а_п₁ х₁ + а_п₂х₂ +... а_ппх_п = b_п.

1) Если определитель системы

а₁₁ а₁₂... а_1п

Δ = а₂₁ а₂₂... а_2п ≠ 0,

......

а_n₁ а_n₂... а_n_п

то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х_i = ,

где Δ х_i – определитель, полученный из Δ заменой элементов i столбца на столбец свободных членов.

2) Если Δ = 0, а среди определителей Δ х_i есть не равные нулю, то система не имеет решения.

3) Если Δ = Δ х₁= Δ х₂=... = Δ х_k = 0, причем один из миноров (п – 1) –го порядка определителя Δ не равен нулю. Тогда система сводится к п – 1 уравнениям; в этом случае одно из уравнений есть следствие остальных. Одному из неизвестных можно дать произвольное значение. Остальные неизвестные определяются единственным образом из системы п – 1 уравнений.

Пример 1: Решить систему уравнений:

2х – 3у = 7,

- х + 5у = -7.

Решение:

Здесь Δ = 7; Δ _х = 14; Δ _у = - 7.

Δ ≠ 0, следовательно система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х_i = .

Тогда х = = 2, у = = -1.

Ответ: х = 2, у = -1.

Пример 2: Решить систему уравнений:

- 3х + у + 2z = -2,

- х - 2у - 3z = -5,

х + у + 3z = 0.

Решение:

Здесь Δ = 11, Δ _х = 11, Δ _у = 55, Δ _z = -22.

Δ ≠ 0, следовательно система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х_i = .

Тогда х = = 1, у = = 5, z = = -2.

Ответ: х = 1, у = 5, z = -2.

Пример 3: Решить систему уравнений:

х₁ - х₂ + 2х₃ - х₄ = 1,

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 4,

2х₁ + 3х₂ - 5х₄ = 0,

5х₁+2х₂ + 5х₃ - 6х₄ = 0.

Решение:

Здесь Δ = Δ х₁= Δ х₂=... = Δ х_k = 0.

Вычеркнув четвертую строку и четвертый столбец, получим минор

1 -1 2

1 1 1 = -3 ≠ 0.

2 3 0

Система сводится к трем уравнениям:

х₁ - х₂ + 2х₃ – х₄ = 1,

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 4,

2х₁ + 3х₂ – 5х₄ = 0.

Четвертое уравнение есть их следствие. Неизвестному х₄ можно дать любое значение. Из последней системы находим:

х₁ = , х₂ = , х₃ = .

Ответ: {( х₁, х₂, х₃, х₄)| х₄ R, х₁ = , х₂ = , х₃ = }.

٭ ٭

127. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

a) -3х₁ + 2х₂ – 4х₃ + х₄ = -7, -5х₁ – 3х₃ + 2х₄ = -6, х₁ – 3х₂ – х₃ + 4х₄ = 7, 2х₁ + 5х₂ + 3х₄ = 0;

b) 5х₁ - 3х₂ + 7х₃ + х₄ = 5, х₁ + х₂ – 5х₃ + 3х₄ = -7, 3х₁ - х₂ + х₃ + 2х₄ = 1, 2х₁ – 3х₃ + х₄ = 2.

128. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х₁– 5х₂ + х₃ – 3х₄ = -4, -4х₁ + 2х₂ + 3х₃ + х₄ = 5, 2х₁ + х₂ – 4х₄ = 8, -х₁ + 6х₂ – 2х₃ + х₄ = 6;

b) 2х₁– х₂ + х₃ – 2х₄ = -3, 3х₁ + 2х₂ – х₃ – 4х₄ = -7, х₁ – 3х₂ + 2х₄ = -2, -2х₁ + 3х₃ – х₄ = 7.

129. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) -2х₁– х₂ + 3х₃ – х₄ = 0, 3х₁ – 4х₃ + 2х₄ = 4, х₁ + 3х₂+2х₃ – х₄ = 5, -4х₁ – 5х₂ + х₃ +3х₄ = -2;

b) 2х₁– х₂ – 3х₃ + х₄ = 0, -х₁ + 5х₂ + х₃ + 2х₄ = 12, х₁ + 4х₂ – 2х₃ + 3х₄ = 3, 3х₁ + х₃ – 5х₄ = 0.

130. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х₁– 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 6, 2х₁ + х₂ – 4х₃ – 3х₄ = 2, 3х₁ + 4х₂ – х₃ + 2х₄ = 8, -4х₁ – 3х₂ + 2х₃ +х₄ = 2;

b) х₁+ 5х₂ – 2х₃ + 3х₄ = -1, -х₁ + 4х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -8, х₁ – 7х₃ – 3х₄ = 2, 3х₁ – 2х₂ + х₃ – х₄ = 4.

131. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х₁+ 3х₂ – 5х₃ – 2х₄ = -10, 2х₁ – х₂ + 3х₃ + х₄ = -2, х₁ + 2х₂ – 2х₃ – х₄ = -6, х₂ – 2х₃ + 3х₄ = 1;

b) 2х₁– 3х₂ + х₃ – 4х₄ = 9, -х₁ – 2х₂ + 3х₃ + х₄ = 8, 3х₁ – х₂ + 2х₃ – 2х₄ = 11, х₁ + 4х₂ – х₃ + 3х₄ = -6.

132. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) 3х₁– х₂ + 2х₃ + х₄ = 1, 2х₁ + 3х₂ + 4х₃ – 2х₄ = 3, х₁ + 5х₂ + 3х₃ – х₄ = 4, - х₁ – 2х₃ + 3х₄ = 2;

b) -2х₁+ 4х₂ – 3х₃ + 5х₄ = -5, 3х₁ – 2х₂ + х₃ – 4х₄ = 8, 4х₁ + х₂ – 2х₃ + 3х₄ = 6, -5х₁ – 3х₂ – х₄ = 6.

133. Решить систему уравнений:

а) -3х + 2у = -1,	b ) - 7х – 12 у = -2,
-5х + 4у = -5;	5х + 3 у = 7.

134. Решить систему уравнений:

а) х + 2 у = 3,	b) 9х + 2 у = 6,
-3х - 13 у = 5;	-5х + у = 3.

135. Решить систему уравнений:

а) - 7х + 2 у = 5,	b) 13х – 3 у = 1,
8х – у = 2;	-7х + 5 у = -13.

136. Решить систему уравнений:

а) х + 2у – 4z = 7,	b) -3х +у – 5z = 1,
2х + у – 3z = -5,	х + 7у – 3z = -5,
3х – 3у – z = -6;	4х – 2у – z = -9.

137. Решить систему уравнений:

а) -3х + 2у – 4z = 15,	b) - х – 2у + 4z = 3,
-5х + у – 3z = 4,	6х + 5у – 3z = -18,
х – 3у – z = 16;	х + 3у – 7z = 3.

138. Решить систему уравнений:

а) 8х + у – 4 z = -3,	b) х + 6у – 7z = 4,
5х + 4у – z = 0,	11х + у – 6z = -9,
х + 3у – 2z = 4;	-2х – 5у + z = -13.

139. Решить систему уравнений:

а) х₁– х₂ + 3х₃ – х₄ = 6, 3х₁ – 2х₃ + 2х₄ = 4, х₁ + 3х₂+2х₃ – х₄ = 1, - х₁ – 5х₂ + х₃ +3х₄ = 4;

b) 2х₁– х₂ – 3х₃ + х₄ = -13, -х₁ + 5х₂ + х₃ – 8х₄ = 5, х₁ + 4х₂ – 2х₃ + 5х₄ = -8, 3х₁ + х₃ – 5х₄ = -3.

140. Решить систему уравнений:

а) 5х₁+ х₂ – 2х₃ – 9х₄ = 9, 3х₁ – х₃ + 7х₄ = 5, -2х₁ + 3х₂+ х₃ + 2х₄ = -4, -4х₁ + х₂ – 2х₃ + 5х₄ = 0;

b) х₁– 2х₂ – х₃ + 5х₄ = 12, -2х₁ + 3х₂ + 6х₃ + х₄ = -6, х₁ – 7х₂ + 2х₃ + х₄ = 1, 3х₁ + х₂ – 2х₄ = -1.

Глава 3. Теория пределов

§1.Предел функции

Определение предела функции

Число b называется пределом функции у = f(x) при х → + , если, каково бы ни было положительное число ε , можно найти такое число N, что для всех х, больших N, выполняется неравенство

│ f(x) – b│ < ε .

Геометрический смысл предела функции заключается в том, что ординаты всех точек графика функции у = f(x), абсциссы которых превосходят число N, заключены между числами b - ε и b + ε . А это значит, что график функции у = f(x) для всех x, превосходящих число N, содержится в полосе, ограниченной прямыми у = b - ε и у = b + ε .

Пример 1. Доказать, что = 7.

Решение.

Зададим произвольное положительное число ε и рассмотрим абсолютную величину разности f(x) – b, где b = 7:

│ f(x) – b│ = │ │ = .

Для того чтобы эта разность была меньше ε , т.е. чтобы выполнялось неравенство │ │ = < ε ,

достаточно, чтобы │ x│ > . Так как мы рассматриваем предел функции при х → + , то x можно считать положительным. Поэтому неравенство выполняется для всех x > . Итак число N равно . А это значит, что

= 7.

Число b называется пределом функции у = f(x) при х → х₀, если, каково бы ни было положительное число ε , можно найти такие числа M и N (N < х < M), что для всех х, лежащих в интервале (N; M) (за исключением, быть может, точки х₀), выполняется неравенство

│ f(x) – b│ < ε .

Пример 2. Рассмотрим функцию у = 3х + 5. Её значение при х = 2 равно 11. Покажем, что при приближении слева и справа к числу 2 значения функции неограниченно приближаются к числу 11, т.е. что

= 11.

Для этого возьмем произвольное положительное число ε и убедимся в том, что разность между функцией и числом 11 по абсолютной величине может быть меньше ε для значений х, близких к х = 2:

│ (3х +5) -11│ < ε .

Это неравенство равносильно неравенствам

- ε < (3х +5) -11 < ε

6 - ε < 3х +5 < 6 + ε

2 - < х < 2 + .

Итак, разность между функцией и числом 11 становится (по абсо-лютной величине) меньше ε для всех х, лежащих между числами N = 2 - и M = 2 + . Поэтому функция у = 3х + 5 имеет предел = 11.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел (при х → + ), равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции (при х → + ).

Теорема 2 (обратная). Если функцию f(x) можно представить как сумму числа b и некоторой бесконечно малой функции (при х → + ), то число b является пределом функции f(x) (при х → + ).

Теорема 3. Если f(x) = b и g (х) = с, то функции f(x) + g (х) и f(x) - g (х) тоже имеют пределы при х → + , причем

[ f(x) ± g (х) ] = b + с = f(x) + g (х),

т.е. предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Теорема 4. Если f(x) = b и g (х) = с, то функция f(x) · g (х) и имеет предел при х → + , причем

[ f(x) · g (х) ] = b · с = f(x) · g (х),

т.е. предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Следствие. Если f(x) = b и k – некоторое действительное число, то функция k ·f(x) тоже имеет предел при х → + , причем

[k ·f(x) ] = k · f(x) = k · b,

постоянный множитель можно выносит за знак предела.

Теорема 5. Если f(x) = b и g (х) = с и с ≠ 0, то имеет предел при х → + , причем

= ,

т.е. предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечание. При х → ± предел отношения двух многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях х. Если же степени многочленов не равны, то предел их отношения равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя, и равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя.

Пример 1. Найти .

Решение.

На основании теоремы о пределе суммы имеем

= + – 1.

Так как предел степени равен степени предела, то = (-3)⁴ = 81;

= 2 · = 2 · (-3)³ = 2 · (-27) = -54.

Замечая, что 1 = 1, получим = 81 – 54 – 1 = 26.

Пример 2. Найти .

Решение.

Нахождение предела этой дроби сводится к раскрытию неопределенности . Для этого преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

= .

Разделим числитель и знаменатель дроби на х – 4. Это сокращение допустимо, так как при разыскании предела рассматриваются значения х ≠ 4. Итак, для всех значений х ≠ 4 имеет место тождество = . Поэтому пределы этих функций равны между собой:

= = = = .

Пример 3. Найти .

Решение.

В этом случае имеет место неопределенность вида . Для того чтобы найти предел данной дроби, преобразуем ее разделив числитель и знаменатель на х³; дробь от этого не изменит своей величины, а следовательно, и своего предела. Получим:

= = = .

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая