Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида а(х) у^' + b(х) у + с(х) = 0, где а(х), b(х), с(х) – заданные функции, причем а(х) ≠ 0, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если с(х) = 0, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением без правой части. В этом случае переменные разделяются и общее решение имеет вид , где .

Пример 1. Решите уравнение ху' + 2у = 0.

Решение.

Так как , то .

Следовательно, ; ; .

Ответ: .

В общем случае решение линейного дифференциального уравнения с правой частью находят в два этапа.

I. Искомую функцию у представляют в виде произведения двух множителей , где u – некоторое ненулевое решение соответствующего однородного уравнения u' + p(x)u = 0, а υ – новая неизвестная функция.

II. Полагая , после преобразований имеют uυ ' = f(x), где . Подставляя полученные выражения для u и υ в исходную формулу, находят искомую функцию у.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

I. Решим однородное уравнение .

;

II. Положим , в нашем случае u = C₀, ,

тогда ; .

Подставим найденные значения в первоначальное уравнение

;

Тогда , .

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Уравнение Бернулли

Определение. Дифференциальное уравнение вида у^' + p(x)y = q(x)∙ уⁿ, (п ≠ 0, п ≠ 1) называется уравнением Бернулли.

Решение уравнения Бернулли сводится к решению линейного уравнения делением обеих его частей на уⁿ и последующей заменой , .

у^' + p(x) y = q(x)∙ уⁿ, |: уⁿ

+ p(x) y^1-ⁿ = q(x),

Получили линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле .

Пример. Решить уравнение .

Решение.

, |:

Положим , тогда .

Проведем замену переменной

Полученное уравнение имеет общее решение

Проведем обратную замену переменной. Общим решением данного уравнения Бернулли будет

Ответ: .

* *

241. Проверить, что данная функция является интегралом (решением) данного дифференциального уравнения:

а) у = ;

b) у = ;

с) у = ;

d) у = .

242. Проверить, что данная функция является интегралом данного дифференциального уравнения:

а) у = ;

b) у = ;

с) у = ;

d) у = .

243. Составить дифференциальное уравнение, решением которого является функция:

а) у = ;

b) у = ;

с) у = ;

d) у = .

244. Решить уравнения с разделяющимися переменными:

а) у’ = 2x + 1;	e) ;
b) у’ – y² = 1;	f) ;
с) у’ ;	g) ;
d) ;	h) .

245. Решить уравнения с разделяющимися переменными:

а) ;

b) ;

с) ;

d) .

246. Решить задачу Коши:

а) у’ ;

b) у’ ;

с) у’

d) у’ .

247. Составить дифференциальное уравнение процесса:

а) изменения скорости при замедленном прямолинейном движении тела под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости υ;

b) радиоактивного распада вещества, если скорость распада пропорциональна массе т, нераспавшегося вещества;

с) увеличения числа микробов N в питательной среде, если число делящихся в единицу времени микробов пропорционально имеющемуся числу микробов;

d) изменения температуры тела Т в среде с температурой Т₁, если скорость изменения Т пропорциональна разности температур тела и среды.

248. Процесс изменения величины описывается дифференциальным уравнением , где х – значение величины в момент времени t с. В начальный момент времени значение величины равнялось х, а через 10 с уменьшилось в два раза. Найдите зависимость величины от времени. Определите, во сколько раз изменилось значение величины через 100 с. Через какое время значение величины уменьшится в 100 раз?

249. Скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Определите, какой процент массы т₀ радия распадется через 200 лет, если известно, что период полураспада радия равен 1590 лет.

250. При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его имеющейся массе. Через 2 часа после начала брожения масса фермента составила 2 г, через 3 часа – 3 г. какова была первоначальная масса фермента?

251. Решить однородные дифференциальные уравнения:

а) у’ ;