Распределение вероятностей дискретных случайных величин

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания, причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение.

Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Непрерывные случайные величины принимают возможные значения из некоторого промежутка.

Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть задано в виде таблицы:

 

хi	х1	х2	...	хп
pi	р1	р2	...	рп

 

Перечислим основные распределения вероятностей дискретных величин:

1. Равномерное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей п значений, задается формулой

Р_п(Х = х_i) = ,

где {х₁, ..., х_п}— все возможные значения случайной величины.

Пример 1. Составить закон распределения вероятностей случайного числа очков, выпавших на верхней гране игрального кубика.

Решение.

Случайная величина Х принимает шесть значений {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Следовательно п = 6. В силу симметричности игрального кубика у каждой из шести граней равные шансы оказаться вверху, а значит Р₆(Х = х_i) = .

Закон распределения случайной величины Х имеет вид

 

хi
pi

 

2. Биномиальное распределение вероятностей случайной величины X, значениями которой являются возможные значения числа т появления события А при проведении а повторных независимых испытаний, задается формулой

Р_п(Х = т) = , т = 0, 1, 2, .... п,

Пример 2. Составьте таблицу распределения вероятностей числа попаданий в мишень при двух независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0, 4.

Решение.

Случайная величина X есть число попаданий в мишень. Так как производятся два независимых выстрела, то случайная величина может принимать следующие значения: х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2. Случайная величина X имеет биномиальное распределение вероятностей, поскольку испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли. По формуле

Р_п(Х = т) = , где т = 0, 1, 2, находим:

Р₂(X = 0) = 0, 36, Р₂(Х=1) = 0, 48, Р₂(X = 2) = 0, 16.

Таким образом, получаем следующую таблицу распределения вероятностей случайной величины X:

хi
pi	0, 36	0, 48	0, 16

Проверка:

3. Гипергеометрическое распределение вероятностей случайной величины X задается формулой

Р_п(Х = т) = .

Здесь п — число различных элементов множества М, из которых s элементов обладают определенным свойством; k - число элементов выборки, а m - число элементов, обладающих этим же свойством и оказавшихся в выборке, причем m может принимать следующие значения: m = 0, 1, 2, ..., s, если s ≤ k.

Пример 3. В группе четыре девушки и пять юношей. Среди них по жребию распределяются три билета в театр. Составить закон распределения вероятностей случайного числа девушек, которым достался билет в театр.

Решение.

Случайная величина X есть число девушек, которым достался билет в театр. Так как производятся имеется три билета, то случайная величина может принимать следующие значения: х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2; х₄= 3. Случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение вероятностей, причем п = 9, s = 4, k = 3, m = 0, 1, 2, 3. По формуле Р₉(Х = 0) = , Р₉(Х = 1) = , Р₉(Х = 2) = , Р₉(Х = 3) = .

Закон распределения случайной величины Х имеет вид

 

хi
pi

Проверка:

4. Геометрическое распределение вероятностей случайной величины X, значениями которой являются возможные значения числа т проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли (причем опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое событие появилось), задается формулой

Р_п(Х = т) = рq^m-1,

где т = 1, 2, 3, ....

Пример 4. Из 25 контрольных работ по математике на «отлично» оценены 5 работ. Наугад одна за другой извлекаются не более трех работ, причем опыт прекращается после извлечения работы оцененной на «отлично». Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных работ оцененных на «отлично».

Решение.

Так как выбор одной работы из 25 равновозможен, то вероятность того, что будет выбрана работа, оцененная на «отлично» при каждом испытании постоянна и равна 0, 2.

Случайная величина Х – число извлеченныхконтрольных работ, принимает значения х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3.

Р₃(Х = 1) = 0, 2∙ (0, 8)^1-1 = 0, 2; Р₃(Х = 2) = 0, 2∙ (0, 8)^2-1= 0, 16.

Значение х₃ = 3 случайная величина Х примет в том случае, если первые две извлеченные контрольные работы будут оценены не на «отлично», а третья – будет оценена на «отлично» или все три работы не будут оценены на «отлично». Следовательно, Р₃(Х = 3) = рq² + q³.

Р₃(Х = 3) = 0, 2∙ (0, 8)² + (0, 8)³ = 0, 128 + 0, 512 = 0, 64.

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины X:

хi
pi	0, 2	0, 16	0, 64

 

Проверка:

Суммой случайных величин X и Y называют случайную величину Z = X + Y, значения которой равны различным числам х_i + у_j, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ т, а вероятность значения z_k равна , где суммирование ведется по всем парам (i, j), для которых х_i + у_j = z_k.Если величины X и Y независимы, то

 

Точно так же определяется произведение двух случайных величин.

Пример 5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей:

 

хi	-1				yi
pi	0, 3	0, 7			pi	0, 6	0, 4

 

Составить таблицу распределения вероятностей случайных величин Z₁= X + Y и Z₂= X ∙ Y.

Решение.

Возможные значения случайной величины Z₁равны z₁ = -1; z₂= 2; z₃ = 5.

Р(Z = -1) = Р(X = -1) Р(Y = 0) = 0, 3 ∙ 0, 6 = 0, 18;

Р(Z = 2) = Р(X = -1) ∙ P(Y = 3) + P(X = 2) Р (Y = 0) = 0, 54;

Р(Z = 5) = Р(Х = 2) ∙ Р(Y = 3) = 0, 7 ∙ 0, 4 = 0, 28.

Полученные значения запишем в таблицу:

 

zi	-1
pi	0, 18	0, 54	0, 28

 

Проверка:

Возможные значения случайной величины Z₂равны z₁ = -3; z₂= 0; z₃ = 6.

Р(Z = -3) = Р(X = -1) Р(Y = 3) = 0, 3 ∙ 0, 4 = 0, 12;

Р(Z = 0) = Р(X = -1) ∙ P(Y = 0) + P(X = 2) Р (Y = 0) = 0, 6;

Р(Z = 6) = Р(Х = 2) ∙ Р(Y = 3) = 0, 7 ∙ 0, 4 = 0, 28.

 

Полученные значения запишем в таблицу:

 

zi	-3
pi	0, 12	0, 6	0, 28

Проверка:

 

Предыдущая12345678910Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. E) Физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи и определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.
2. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ПО РАЗДЕЛАМ, ТЕМАМ
3. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА
4. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
5. VI. Распределение законодательной власти
6. Абсолютные и относительные величины
7. Абсолютные и относительные величины.
8. Абсолютные и относительные статистические величины
9. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
10. Биномиальный закон (распределение Бернулли)
11. Блок 15. Индексы средних величин
12. Блок 6. Абсолютные и относительные величины, средние величины