Плотность вероятности. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Случайная величина Х, для которой функция распределения вероятностей F(x) непрерывна, называется непрерывной.

Обычно рассматриваются непрерывные случайные величины, у которых F(x) дифференцируема.

Для таких величин вероятность того, что значение случайной величины принадлежат интервалу ]a; b[, определяется равенством

Геометрически правая часть этого равенства выражает площадь криволинейной трапеции (рис. 15.).

Если плотность вероятности случайной величины Х известна и равна p(x), то интегральную функцию можно найти по формуле

Перечислим свойства плотности вероятности:

Pис.15. 1) Для всех значений х имеем p(x) ≥ 0.

3) Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ]a; b[, то

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности p(x) называют определенный интеграл

При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего значения. Если плотность вероятности для Х равна p(x), то

На практике дисперсию непрерывной случайной величины Х удобнее вычислять по формуле

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины Х называют корень квадратный из дисперсии

Если Y = φ (x) есть функция случайного аргумента Х, имеющего плотность вероятности p(x), то математическое ожидание и дисперсия находятся по формулам:

Пример1. Дана интегральная функция непрерывной случайной величины Х:

при х ≤ 0, при 0 < x ≤ 2, при x > 2.

 

Найти плотность вероятности p(x), построить график этой функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале ]0, 5; 1[.

Решение.

Так как p(x) = F'(x), то

p(x) =

при х ≤ 0, при 0 < x ≤ 2, при x > 2.

 

График этой функции изображен на рисунке 16. Для того, чтобы найти вероятность попадания

случайной величины в интервал ]0, 5; 1[, вычислим площадь криволинейной трапеции.

 

Ответ: P(0, 5 < X < 1) = 0, 1875.

Пример 2. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

 

p(x) =

при х ≤ 1, при 1 < x ≤ 3, при x > 3.

 

Построить график функции p(x), сравнить вероятности попадания случайной величины в интервалы ]1, 5; 2[ и ]2; 2, 5[. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х в интервале ]1; 3[.

Решение.

График функции изображен на рисунке 17.

Найдем вероятности попадания случайной величины в интервалы ]1, 5; 2[ и ]2; 2, 5[.

.

 

.

Следовательно, P(1, 5 < X < 2) = P(2 < X < 2, 5).

Найдем математическое ожидание случайной величины Х:

Найдем дисперсию случайной величины Х:

Ответ: M(X) = 1, 875; D(X) ≈ 0, 68; σ (X) = 0, 83.

Пример 3. Случайная величина Х задана плотностью вероятности

p(x) = в интервале ]0; [, вне этого интервала p(x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y = sin x.

Решение.

Y есть функция случайного аргумента Х, имеющего плотность вероятности p(x) = . Найдем числовые характеристики Х.

Ответ: M(X) = 0, 5; D(X) = 0, 08; σ (X) = 0, 29.

 

 

* *

*

 

340. Какие из перечисленных ниже случайных величин являются дискретными:

a) число попаданий в цель при 10 независимых выстрелах;

b) отклонение размеров обрабатываемой детали от стандарта;

c) число юношей в академической группе;

d) суточное прибавление в весе младенцев в родильном доме.

 

341. Возможные значения случайной величины Х таковы: х₁ = 2, х₂ = 5, х₃ = 8. Найдите вероятность Р (Х = 8), если известны вероятности Р (Х = 2) = 0, 4; Р(Х = 5) = 0, 15.

 

342. Случайная величина Х задана законом распределения вероятностей

 

xi
pi	0, 15	0, 2	0, 25	0, 3	0, 1

 

Найдите: 1) Р (Х ≤ 3); 2) Р (2 ≤ Х < 5); 3) Р (1 ≤ Х < 4); 4) Р (Х > 2).

 

343. Составьте закон распределения случайной величины: 1) числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания равна 0, 7; 2) числа выпавших очков при подбрасывании игральной кости; 3) числа выпавших гербов при трех бросаниях монеты; 4) количества делителей натурального числа, выбранного наугад из чисел от 1 до 10 включительно.

 

344. Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью 0, 6 может произойти событие А. Найдите: 1) закон распределения числа испытаний; 2) вероятность того, что будет проведено более двух испытаний, если испытания проводятся до первого появления события А, а общее число испытаний не превосходит четырех.

 

345. Составьте закон распределения случайной величины Х - равной сумме очков на верхней грани при одновременном подбрасывании двух игральных костей.

 

346. Стрелок, имея три патрона, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0, 8. Составьте закон распределения числа произведенных выстрелов.

 

347. В урне 5 черных и 10 белых шаров. Наудачу извлекаются три мяча. Составьте закон распределения вероятностей случайной величины Х – числа извлеченных черных шаров.

 

348. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 карандаша красные. Наудачу извлекаются три карандаша. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных красных карандашей.

 

349. В группе 8 отличников, из них пять девушек. Наудачу из отличников группы выбирают двух человек. Составьте закон распределения числа девушек среди выбранных.

 

350. По некоторому маршруту совершают полет 3 самолета, вероятность отклонения от расписания которых равна 0, 2. Составьте закон распределения вероятностей, для случайного числа самолетов, прилетевших по расписанию.

 

351. Из 25 контрольных работ 5 оценено на «отлично», наугад извлекают три работы. Составьте закон распределения числа работ, оцененных на отлично и оказавшихся в выборке.

 

352. Набрасываются кольца на колышек либо до первого попадания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно пяти. Составьте закон распределения вероятностей случайной величины Х – числа брошенных колец, если вероятность набрасывания кольца на колышек при каждом испытании постоянна и равна 0, 9. Используя полученную таблицу, найдите Р (Х < 4).

353. Вероятность попадания стрелка по мишени равна 0, 5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, стреляет по мишени до первого попадания или до полного израсходования всех патронов. Составьте закон распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов.

 

354. Стрелок производит три независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0, 9. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа попаданий по мишени.

 

355. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей:

 

xi	-3
pi	0, 3	0, 5	0, 2

 

Составить закон распределения вероятностей случайных величин Y = X², Z = 3X.

 

356. Составьте закон распределения вероятностей случайной величины

Z = Y∙ X, если Х и Y – независимые случайные величины, заданные законами распределения вероятностей:

 

xi						уi
pi						pi

 

357. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины

Z = X + Y, если Х и Y – независимые случайные величины, заданные законами распределения вероятностей:

 

xi				уi
pi	0, 6	0, 4		pi	0, 2	0, 8

 

358. Составьте таблицы распределения вероятностей случайных величин

Z₁ = X + Y и Z₂ = Y∙ X, если Х и Y – независимые случайные величины, заданные законами распределения вероятностей:

 

xi					уi
pi					pi

 

359. Случайная величина Х имеет закон распределения:

xi	-2	-1
pi	0, 35	0, 2	0, 15	0, 3

а)

 

 

xi
pi	0, 25	0, 45	0, 3

b)

 

c)

xi	-2	-1
pi	0, 25	0, 2	0, 1	0, 15	0, 3

 

Найти М(Х), D(X).

 

360. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, имеет соответственно закон распределения:

 

xi						хi
pi	0, 5	0, 3	0, 2			pi	0, 2	0, 3	0, 5

 

Какой из стрелков стреляет лучше?

 

361. Число вызовов, поступающих в пожарные части из двух районов в течение недели, имеют соответственно законы распределения:

 

xi						хi
pi	0, 85	0, 1	0, 05			pi	0, 82	0, 15	0, 03

 

В каком из районов выше пожарная опасность? Сколько пожаров в год можно ожидать в каждом из этих районов?

 

362. Согласно статистическим данным вероятность того, что 25-летний человек проживет еще один год, равна 0, 998. Страховая компания предлагает 25-летнему человеку застраховаться на 100000 рублей, страховой взнос равен 3000 рублям. Какую прибыль ожидает получить страховая компания при страховании одного 25-летнего человека?

 

363. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы числа очков, которые выпадают при бросании двух игральных костей.

 

364. Случайные величины Х и Y имеют соответственно законы распределения

 

xi	-1					уi	-1
pi	0, 5	0, 1	0, 4			pi	0, 2	0, 3	0, 1	0, 4

 

Найдите: а) М (3Х – 1); b) М (2Х + 3Y); с) М (Y²).

365. В дни приемной кампании в институте число заявлений от абитуриентов, поступающих на два разных факультета за 1 час, имеет соответственно законы распределения

 

xi							уi
pi	0, 1	0, 15	0, 2	0, 25	0, 3		pi	0, 05	0, 1	0, 15	0, 4	0, 25

 

На какой факультет ожидается прием большего числа заявлений в течение 1 часа?

 

366. В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей:

 

ti	-2	-1
pi

 

 

Найдите математическое ожидание М (T) среднесуточной температуры.

 

367. В условиях задачи 362, найдите а) D (3Х – 1); b) D (2Х + 3Y); с) D (Y²).

 

368. Случайная величина Х задана следующим законом распределения вероятностей:

xi
pi	0, 05	0, 2	0, 15	0, 3	0, 1

 

Вычислить вероятность события (т – σ ≤ Х ≤ т + σ ).

 

369. Успеваемость на факультете составляет 80%. Наудачу выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.

 

370. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0, 2. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 5 попаданий в цель?

 

371. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0, 005.

 

372. Игральная кость подбрасывается 18 раз. Сколько раз в среднем может появится 4 очка?

 

373. Найдите дисперсию появления события в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события от испытания к испытанию не меняется, а математическое ожидание этой случайной величины равно 0, 9.

374. Дискретная случайная величина Х задана следующим законом распределения вероятностей:

 

xi
pi	0, 3	0, 2	0, 5

 

Найдите интегральную функцию распределения и постройте ее график.

 

375. Дискретная случайная величина Х задана следующим законом распределения вероятностей:

 

xi	-1
pi	0, 1	0, 3	0, 6

 

Найдите интегральную функцию распределения и постройте ее график.

 

376. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос дано по 5 ответов, среди которых имеется один правильный. Составьте таблицу распределения случайного числа Х правильных ответов, полученных при простом угадывании, и найдите интегральную функцию распределения вероятностей этой случайной величины.

 

377. Монета подбрасывается 3 раза. Для случайного числа появления герба: а) найдите интегральную функцию распределения вероятностей; b) найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

378. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей

Найдите вероятность того, что а) в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (1, 75; 2); b) в результате двух независимых испытаний случайная величина Х оба раза примет значение из интервала (1, 7; 1, 9).

 

379. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей

Найдите вероятность того, чтов результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1; 0). Постройте график интегральной функции и укажите отрезок равный P(-1 < X < 0).

 

380. Дана интегральная функция непрерывной случайной величины Х:

Найдите плотность вероятность p(x).

 

381. Дана интегральная функция непрерывной случайной величины Х:

a) Найдите плотность вероятность p(x).

b) Вычислите вероятности попадания случайной величины в интервал ]-0, 5; 0[.

 

382. Дана плотность вероятность непрерывной случайной величины Х:

a) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

b) Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале ] 0, 5; 1[ или в интервале ]2; 2, 5[.

с) Найдите вероятность того, что в результате пяти независимых испытаний случайная величина три раза примет значение в интервале ]1; 3[.

 

383. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

384. Найдите интегральную функцию F(X) непрерывной случайной величины Х, постройте ее график и по графику определите вероятность того, что случайная величина Х примет значения в интервале .

 

385. Дана плотность вероятности случайной величины Х:

Найдите интегральную функцию F(X).

 

386. Дана плотность вероятности случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y = Х – 1.

 

387. Дана плотность вероятности случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y = Х³.

 

388. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y = sin Х.

 

 

Предыдущая12345678910Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. E) Физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи и определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.
2. I. Отвратительная нечистоплотность.
3. Абсолютные и относительные величины
4. Абсолютные и относительные величины.
5. Абсолютные и относительные статистические величины
6. Акустические волны. Связь между давлением, плотностью, скоростью и смещением частиц воздуха в волне. Интенсивность акустической волны.
7. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
8. Блок 15. Индексы средних величин
9. Блок 6. Абсолютные и относительные величины, средние величины
10. Бщая величина основных источников средств для формирования запасов и затрат
11. В зависимости от величины этих коэффициентов предприятия распределяются на три класса по кредитоспособности.
12. Величина дивиденда. Доход по акциям