Форвардные доходности облигаций: нахождение и экономический смысл.

Под форвардной доходностью понимают такое значение доходности , при котором первая и вторая инвестиционная стратегии обеспечивают одинаковый доход в конце второго года, т.е. при котором . Итак, форвардная доходность определяется из уравнения (4. Решив это уравнение, получим: . В случае, если на финансовом рынке отсутствуют бескупонные облигации, то при определении форвардной доходности используются доходности синтетических бескупонных облигаций (чистые доходности).

Данное выше определение форвардной доходности естественным образом обобщается на случай . А именно, форвардная доходность – это такое значение доходности бескупонных облигаций со сроком погашения в конце периода времени n, найденная с помощью рыночной цены таких облигаций в начале периода , которое обеспечивает одинаковые доходы для следующих двух инвестиционных стратегий:

1) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода n.

2) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода k. Затем, в начале периода реинвестировать доход в бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода n.

В соответствии с данным определением, форвардная доходность находится из уравнения:

, где – доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в конце периода k, а – доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в конце периода n.

В случае, если на финансовом рынке отсутствуют бескупонные облигации, то при определении форвардной доходности используются доходности синтетических бескупонных облигаций (чистые доходности). Решив уравнение, получим: . Иногда при определении форвардных доходностей удобно использовать аппарат, разработанный в случае непрерывной капитализации процента. Дадим определение (непрерывно капитализируемой) форвардной доходности . Форвардная доходность – это такое значение (непрерывно капитализируемой) доходности бескупонных облигаций со сроком погашения в момент времени T, найденная с помощью рыночной цены таких облигаций в момент времени , которое обеспечивает одинаковые доходы для следующих двух инвестиционных стратегий:

3) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в момент времени T.

4) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в момент времени и реинвестировать доход (полученный в момент времени ) в бескупонные облигации со сроком погашения в момент времени T.

В соответствии с данным определением, форвардная доходность находится из уравнения:

, где – непрерывно капитализируемая доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в момент времени , а – непрерывно капитализируемая доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в момент времени T. Очевидным образом уравнение (48) сводится к следующему уравнению: .Решив это уравнение, получим: .

Продолжительность портфеля облигаций (вывод формулы).

Поскольку портфель облигаций выплачивает последовательность платежей, продолжительность портфеля облигаций находится по формуле (12) главы 2, т.е. , (1) где w_k – доля текущей стоимости k-го платежа портфеля в текущей стоимости портфеля, – срок выплаты k-го платежа портфеля, n – количество платежей портфеля. Докажем, что для продолжительности портфеля облигаций справедлива формула: , (2) где wⁱ – доля текущей стоимости облигаций i-го вида в текущей стоимости портфеля, – продолжительность облигации i-го вида, m – количество видов облигаций в портфеле. Введем следующие обозначения.

– количество облигаций i-го вида в портфеле, – текущая стоимость k-го платежа облигации i-го вида, – текущая стоимость облигации i-го вида, – текущая стоимость k-го платежа портфеля, – текущая стоимость портфеля, – доля текущей стоимости k-го платежа облигации i-го вида в текущей стоимости облигации i-го вида.