Поверхностные интегралы II рода

Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M).

Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через т.М. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так, чтобы он 1) всё время оставался нормальным к S, 2) и его направление менялось при этом перемещении непрерывно.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.

Если же на поверхности S, $ замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Двустороннюю поверхность называют ориентируемой, одностороннюю – неориентируемой.

Пусть S – ориентируемая поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительное направление обхода то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя.

Противоположное направление обхода считается отрицательным.

Перейдём к определению поверхностного интеграла II рода.

Пусть S – гладкая поверхность Û Z = f(x, y) и R(x, y, z) – ограниченная функция, определённая в точках поверхности S.

Выберем одну из сторон поверхности. Если нормали составляют острые углы с осью Oz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности Z = f(x, y), если тупые, то нижняя.

Разобьём S на произвольные n части.

G_i- проекцииi –части поверхности на ОХУ.

Выбрав на каждой частичной поверхности любую т.М_i (x_i, h_i, V_i), составим

где DS_i – площадь G_i, взятая со знаком (+), если выбрана верхняя сторона поверхности S.

Уравнение – интегральная сумма для функции R(M).

Обозначим через dмаксимальный из диаметров частей поверхности S.

Определение

Если интегральная сумма при d®0 имеет предел, равный J, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x, y, z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:

R(x, y, z) называется интегрируемой по поверхности S.

Сумму

называют общим поверхностным интегралом II рода и обозначают символом

который обладает теми же свойствами, что и поверхностный интеграл I рода. Отличается от него только тем, что при изменении стороны поверхности он меняет знак.

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x, y). Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ. Рассмотрим на поверхности S

R(x, y, z) – непрерывная функция.

Разобьём S произвольно на n частей G₁, G₂, ..., G_n.

Выберем по произвольной точке М_i (x_i, h_i, V_i).

Составим интегральную сумму:

= ,

где DS_i – площадь G_i, так как точка V_i = Z(x_i, h_i).

Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем

Аналогично:

G₁ – проекция S на Oyz.

G₂ – проекция S на Ozх.

Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность, на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)], (M) – единичная нормаль = ( cosa, cosb, cosg ), тогда

Отсюда видно, что если выбрать другую сторону поверхности, то направляющий косинус изменит знак.

Пример 6.8.11.Вычислить

, где S - поверхность треугольника, образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями: х = 0, у = 0, z = 0 в верхней стороне поверхности.

Формула Остроградского

Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом

ТеоремаЕсли функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, то имеет место формула

Пример 6.8.12.

где S – внешняя сторна сферы x² + y² + z² = R².

Решение.

Применим формулу Остроградского:

Вводим сферические координаты

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 101112 Следующая ⇒