Из истории происхождения систем счисления

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 12Следующая ⇒

Одними из первых появились пятеричная и десятичная системы счисления (по количеству пальцев на одной или двух руках). Существовала также двенадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления. В первой из них считали большим пальцем фаланги остальных четырех пальцев. Отголоски этой системы дошли до наших дней: посуда группируется по 12 приборов (в дюжины). Гипотеза появления шестидесятеричной системы счисления такова: объединились два народа, у одного из которых была пятеричная, а у другого двенадцатеричная системы счисления. В наше время свидетельством существования этой системы служит состав часа из 60 минут и т.п.

5. Множество. Отношения между множествами

Множество – одно из основных математических понятий. Множество ассоциируется с понятием группа. Множества могут быть конечными, бесконечными, пустыми.

Пустым называется множество, которое не содержит ни одного элемента (Æ ).

Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С, …, а элементы - маленькими буквами а, в, с, ….х, у.

«Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: а Î А, если не принадлежит – то в Ï А.

Способы задания множества:

1) путем перечисления всех элементов А = {а, с},

2) путем задания характеристического свойства.

Характеристическое – такое свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, и не обладают элементы, не принадлежащие данному множеству.

Например, «натуральные числа больше 3» можно задать так: А = {n Î N, n > 3}.

Отношения между множествами

Множества изображаются на плоскости с помощью кругов Эйлера.

1. Отношение равенства

Говорят, что А=В, если все элементы множества А принадлежат множеству В и наоборот, все элементы множества В принадлежат множеству А.

Ни количество элементов, ни порядок их следования не имеет значения для равенства множества.

Пример: А={1; 2} и В={1, 2, 2, 1}, А=В.

2 . Отношение включения

Говорят, что множество А включено (Ì ) в В, если все элементы множества А принадлежат В.

В этом случае множество А будем называть подмножеством В.

Если А={1, 2}, В={1, 2, 3}, то АÌ В.

Если А - студенты дошфака, В - студенты университета, то АÌ В.

3 . Отношение пересечения

Говорят, что множества А и В пересекаются, если имеют хотя бы один общий элемент.

Например, А={1, 2, 3} и В={2, 4, 6}, А и В - пересекаются.

А В

4. Если АÇ В=Æ, то множества А и В не пересекаются. Например, студенты 1 и 2 курсов – не пересекающиеся множества.

А В

Операции над множествами

Результатом операций над множествами всегда является множество.

1. Пересечением множеств А и В называется такое множество, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству А и принадлежащих множеству В (т.е. их общих элементов). Например:

а) А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

А Ç В ={2}.

б) А={1, 2}, В={3, 4}, А Ç В= Æ.

в) А={1, 2}, В={1, 2, 3},

А Ç В ={1, 2}=А.

г) если А = В, то А Ç В=А=В.

2. Объединением множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы множества А или множества В ( т.е. все элементы А и все элементы В). Например:

а) А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

А È В={1, 2, 3, 4, 6}

б) А={1, 2}, В={3, 4},

А È В={1, 2, 3, 4}.

в) А={1, 2}, В={1, 2, 3},

А È В={1, 2, 3}.

г) если А = В, то А È В=А=В.

3. Разностью множеств В и А называют множество, которому принадлежат все те элементы множества В, которые не принадлежат А. Например:

а) А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

В\ А={4, 6}.

б) А={1, 2}, В={3, 4};

В\ А={3, 4}.

в) А={1, 2, 3}, В={1, 2};

В \ А= Ǿ.

с) если А=В, то В\ А= Ǿ.

4. В случае, когда А Ì В, можно рассмотреть частный случай разности множества В и А. Дополнением множества А до множества В называется такое множество, которому принадлежат все те элементы множества В, которые не принадлежат А.

5. Декартовым произведением множества А на множество В называется множество всевозможных пар, первый элемент которых принадлежит множеству А, а второй - множеству В.

А х В = {(а, в), а Î А, в Î В}.

Пара – упорядоченное множество, состоящее из двух элементов.

А={1, 2}, В={3, 4}, А х В= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.

Свойство коммутативное (переместительное).

Для операций пересечения и объединения выполняется коммутативное свойство, т.е.

А Ç В = В Ç А; АÈ В = В È А. (На картинке заштрихованные разными цветами области совпадают).

Для операций разности и декартового произведения коммутативное свойство не выполняется.

А\ В ¹ В\ А. Пусть А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

тогда В\ А={4, 6}, а А\ В={1, 3}.

А х В ¹ В х А. Пусть А={а, о}, В={н, м},

тогда АхВ={(а, н), (а.м), (о, н), (о, м)}, а ВхА={(н, о), (м, о), (м, а)}.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒