Дивергенция электрическое смещение в данной точке поля равна объемной плотности заряда в этой точке.

Источником поля является электрическим заряд. В теореме Остроградского Гаусса содержится связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора. Поток вектора а через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V , ограниченному этой поверхностью:

Ф = _S∫ adS = _V∫ div a dV. (2.18.)

Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл объемным

. _s∫ EdS = _V∫ div.E dV. (2.19.)

и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему

q = _V∫ ρ dV. (2.20.)

Тогда получим следующее выражение

_V∫ div.E dV.= (1/έ ₀) _V∫ ρ dV. (2.21.)

Так получим теорему Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля

div.E = (ρ /έ ₀), (2.22.)

в дифференциальной форме. Это первое фундаментальное уравнение электростатики. z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gif

ПРИМЕР № 1. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусом R₁ и R₂ несут соответственно заряды q₁ и q₂. Определить напряженностьэлектрического поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях D.

Дано: q1 q2 R1 R2

E1-? E2-?

Решение:

1) E

2)

3)

Лекция № 3.

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа этой силы на элементарном перемещении dl равна

dA = (Fdl) = Fdl.cosa = (1/4pe₀)(qq₀/r²)dlcosa. (3.1.)

Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

A₁₂ = ₁ ò ² dA = (qq₀/4pe₀)₁ ò ²(dr/r²) = (qq₀/4pe₀).(1/r₁ - 1/r₂) (3.2.)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ, а электростатические силы — КОНСЕРВАТИВНЫМИ. Работа, совершаемая при перемещении заряда по любому замкнутому пути равна нулю:

ò dA = 0. (3.3.)

Этот интеграл называется ЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ.

3.2z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gif. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

Тело, в потенциальном поле, обладает потенциальной энергией, за счет изменения которой, силами поля совершается работа.

Работа Δ A кулоновских сил при малом перемещении равна

Δ A = F Δ l cosα = E_lqΔ r = (1/4π ε ε ₀)(Qq/r²)Δ r, (3.4.)

Рис.14. Работа электрических сил при малом перемещении ∆ l заряда q.

Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δ r. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r₁ до r = r₂, то можно получить

A = _r1∫ ^r2 Eqdr = (Qq/4π ε ε ₀)(1/r₁ – 1/r₂), (3.5.)

Работу сил электростатического поля равна разности потенциальных энергий, которыми обладает заряд в начальной и конечной точках поля, созданного другим зарядом:

A₁₂ = (1/4pe₀)[(qQ/r₁) - (qQ/r₂)] = U₁ - U₂. (3.6.)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q в поле заряда Q равна

U = (1/4pe₀)(qQ/r) + C. (3.7.)

Если считать, что при удалении заряда в бесконечность

(r ® ¥ ) его потенциальная энергия обращается в нуль, то

С = 0. Для одноименных зарядов: потенциальная энергия их взаимодействия положительна, а для разноименных — отрицательна. z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifЕсли электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов Q_i, то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ A_i кулоновских полей точечных зарядов: А = ∑ А_i. Так как каждый член суммы A_i не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

U = SU_i = q₀S(Q_i/4pe₀r_i) = q₀/4pe₀ S(Q_i/r_i). (3.8.)

Из этой формулы следует, что отношение U/q не зависит от q и является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом: j = U/q. Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом Q, равен

j = (1/4pe₀)(Q/r). (3.9.)

работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, может быть представлена как:

A₁₂ = U₁ - U₂ = q(j₁ - j₂), (3.10.)

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Работа сил поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

A₁₂ = ₁ò ²qEdl. (3.11.)

Сравнив эти формулы получим:

j₁ - j₂ = ₁ò ²Edl, (3.12.)

где интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, поскольку работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения. Таким образом,

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРАНИЦ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЧЕЛОВЕКА
2. Алгебраическая сумма всех электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной (какие бы процессы ни происходили внутри этой системы).
3. Антенны с круговой поляризацией
4. Ассиметрия плотности ткани молочной железы
5. Б. Напряженность и потенциал электростатического поля и связь между ними. Принцип суперпозиции
6. Банда действовала под фирмой «Белый Лебедь». Мария Лемешева стала одной из жертв этой банды. Ей было всего 14 лет.
7. Биполярное аффективное расстройство. Рекуррентное депрессивное расстройство. Этиология, клиника, диагностика, типы течения.
8. В задачах 285–300 определить константу равновесия обратимых химических реакций при заданной температуре и указать, как будет смещаться равновесие при повышении температуры или давления
9. В подъезде тоже очень холодно. От такого мороза краска лопается, а ремонт не известно, когда будет. Квартплату плачу стабильно на протяжении 31 года. Прошу разобраться в данной ситуации.
10. Василий Павлович был одним из создателей этой кафедры в 1959 году (с этого года профессор) и возглавлял её более 30 лет.
11. Взаимодействие токов вызывается их магнитными полями: магнитное поле одного тока действует силой Ампера на другой ток и наоборот.
12. Визуализация для раскрытия чакр (4-й уровень аурического поля)