ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 22Следующая ⇒

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gif z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifС войства электростатического поля можно выразить в общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда. Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Ф вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора E аналогично понятию потока вектора скорости v при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка Δ S.

Рис. 8. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

Произведение модуля вектора E на площадь Δ S и на косинус угла α между вектором E и нормалью n к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку Δ S. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки Δ S_i, определить элементарные потоки Δ Φ _i поля E через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора E через замкнутую поверхность S:

Ф = ∑ Δ Ф_i = ∑ E_ni Δ S_i. (2.1.)

Для замкнутой поверхности выбирается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля E через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε ₀. Ф = (1/έ ₀)∑ q_внутр.. (2.2.)

Рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

E = E_n = (1/4π έ ₀)(q/R²), (2.3.)

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4π R². Следовательно,

Ф = (1/έ ₀)q_внутр.. (2.4.)

Рис. 9. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.

Окружим теперь точечный заряд замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R₀. Рассмотрим конус с малым телесным углом Δ Ω при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку Δ S₀, а на поверхности S – площадку Δ S. Элементарные потоки Δ Φ ₀ и Δ Φ через эти площадки одинаковы. Действительно, Δ Ф₀ = E₀Δ S₀,

Δ Ф₀ = EΔ Scosά = EΔ S. (2.5.)

Здесь Δ S = Δ Scosα – площадка, выделяемая конусом с телесным углом Δ Ω на поверхности сферы радиуса r. Так как

E₀/E = r²/R²₀ (2.6.)

Δ S₀/Δ S¹= R²₀/r², (2.7.)

следовательно,

Δ Φ ₀ = Δ Φ. (2.8.)

Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

Ф = Ф₀ = q/έ _0.(2.9.)

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей E_i точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φ _i электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q_i оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный q_i/έ ₀, если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю. Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Используя теорему Гаусса, можно вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА

НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ.

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

E= s/2e₀. (2.10.)

где s - поверхностная плотность заряда равная q/S.

2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей. E = s/e₀. (2.11.)

где s - поверхностная плотность заряда равная q/S.

Рис.10.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

E = (1/4pe₀)(q/r²). (2.12.)

где q - заряд сферы радиуса R при r ³ R.

4) Поле объемно заряженного шара.

E = (1/4pe₀)(q/R³)r. (2.13.)

где q - заряд сферы радиуса R при R ³ r.

Рис. 11.

5) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

E = (1/2pe₀)(t/r). (2.14.)

где t - линейная плотность заряда равная q/l, r - расстояние от нити, R - радиус цилиндра, при r ³ R.

Рис.12. Электрическое поле заряженной нити.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Рис.13. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии.

2.3.z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gif ТЕОРЕМА ГАУССА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

В случаях неравномерного распределения заряда и не симметричных конфигурациях заряженных тел применяют дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть заряды в пространстве распределены неравномерно ρ = f(x, y, z). В математике показано что

div D = (δ D/δ x) + (δ D/δ y) = (δ D/δ z), (2.15.)

D = iDx + jDy +kDz, (2.16.)

divD - скалярная величина.

Div D = ρ (2.17.)

- теорема Гаусса в дифференциальной форме.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒