![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Некоторые сведения и теории целых чисел. Пусть
…
Соединяя вместе полученные формулы, получаем:
Определение 2.1. Выражение, стоящее в правой части равенства (1.1), называется конечной цепной дробью. Обозначим Замечание. Числа Если процесс построения цепной дроби оборвать на некотором шаге, то мы получим дробь, которую называют подходящей дробью цепной дроби (1.1). Более конкретно, подходящие дроби соответствующего порядка – это дроби вида
Ясно, что последняя подходящая дробь Применяя метод математической индукции можно доказать следующее утверждение. Теорема 1.1. Для подходящей дроби k-го порядка имеет место следующая рекуррентная формула:
Для вычисления подходящих дробей удобно принимать алгоритм, основанный на следующем правиле (см. [9]). Пусть
Справедливо соотношение:
Т.е. перемножив указанные матрицы, мы получаем «в перевернутом виде» подходящие дроби Пример. Найдем все подходящие дроби числа
Находим подходящие дроби по формуле (1.3):
Далее,
Рассмотрим теперь основные свойства подходящих дробей. 1°. Знаменатели подходящих дробей – натуральные числа и образуют неубывающую последовательность, которая со второго члена становится строго возрастающей. Доказательство. Действительно,
Значит, 2°. Числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей связаны соотношением:
Доказательство . Все матриц, находящиеся в левой части равенства (1.4) имеют определитель, равный
откуда и следует формула (1.4). 3°. Все подходящие дроби несократимы. Доказательство. Действительно, если 4°. Подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую, а нечетного - убывающую последовательности. Пользуясь формулами (1.2) и (1.4), получаем:
Таким образом, если 5°. Каждая подходящая дробь четного порядка Доказательство. Рассмотрим разность
то есть
Следствие. Каждая подходящая дробь нечетного порядка больше соседних подходящих дробей. 6°. Любая подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка. Доказательство. Рассмотрим подходящие дроби
Пусть теперь
Итак, при любом соотношении между Суммируя информацию о поведении подходящих дробей, мы получаем следующее важное свойство. 7°. Если Доказательство. Если последняя подходящая дробь, совпадающая с числом Случай, когда последняя подходящая дробь не имеет нечетный порядок, рассматривается аналогично. Рассмотрим теперь вопрос о том, насколько хорошо подходящие дроби приближают число 8°. Если Доказательство. На основании свойства 7° число
На основании свойства 1° получаем
Неопределенные уравнения. Применяя теперь изученные цепные дроби к решению уравнений вида a где a, b, c- целые числа, Рассмотрим вопрос о разрешимости уравнения (1.5). Теорема 1.2. Для существования решения уравнения (1.5) необходимо и достаточно, чтобы c Доказательство. Необходимость. Если (
Достаточность. Пусть c Без ограничения общности полагаем, что
т.е. числа Если где b’=- b. Тогда ( Следствие. Если (a, b)=1, то уравнение (1.5) разрешимо. Рассмотрим вопрос о нахождении общего решения уравнения (1.5). Теорема 1.3. Пусть (a, b)=1 и (
Доказательство. Необходимость. Покажем, что любая пара чисел (x, y), удовлетворяющих (1.6), дает решение (1.5). Действительно, a( Достаточность. С другой стороны, пусть(x, y) - произвольное решение уравнения (1.5). Тогда имеем соотношения a a Вычитая из первого равенства второе, получим a( a( Поскольку (a, b)=1, левая часть делится на a, то Подставляя значение a(
Таким образом, произвольное решение (x, y) уравнения (1.5) имеет вид (1.6). Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Пример. Решите в целых числах уравнение Рассмотрим сначала уравнение С помощью алгоритма Евклида находим НОД
Тогда частное решение исходного уравнения: Общее решение: Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 1282; Нарушение авторского права страницы