Вычисление скорости шара в нижней точке желоба.

Рис. 2

Для вычисления конечной скорости шара воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме изменение кинетической энергии равно сумме работ всех сил, действующих в системе:

(1)

Выделим три главных, действующих на шар силы: сила тяжести - mg, сила нормальной реакции опоры - N и сила трения - F_тр (см. Рис.2).

Работа силы тяжести может быть представлена, как разность двух величин , каждая из которых называется потенциальной энергией поля силы тяжести, поэтому A = E_пот1 = mgh, так как E_пот2 =0. Работа силы нормальной реакции A_N равна нулю, так как эта сила действует перпендикулярно траектории. При вычислении работы силы трения будем предполагать, что при движении шара по желобу не возникает скольжения. В этом случае сила трения работы не производит потому, что она приложена к тем точкам шара, которые лежат на мгновенной оси вращения, а мгновенная скорость таких точек равно нулю, следовательно, данная точка не перемещается и A_тр=0. Роль силы трения в этом случае сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение, представляющее собой движение, при котором мгновенные оси вращения не перемещаются, а последовательно заменяются другими, близлежащими осями - множествами точек катящегося тела. Понятно, что такая модель, при конечном значении коэффициента трения, может работать не при любых формах кривой скатывания. Однако, при наличии проскальзывания описание сильно усложнится и мы не будем приводить его здесь.

Теперь соотношение (1) может быть переписано как

. (2)

Здесь кинетическая энергия представлена суммой всего двух слагаемых, первое из которых - кинетическая энергия поступательного движения шара, а второе - кинетическая энергия вращения шара вокруг своего центра. Выделенная последняя часть предыдущего предложения очень важна - ведь в действительности шар вращается вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точки касания шаром желоба. При записи этой, простой на первый взгляд, формулы использован мощный прием - теорема Кенига о кинетической энергии твердого тела (см. Приложение 1). Действительно, при столь сложном движении шара включающем поступательное и одновременно вращательное движение вокруг мгновенной оси, записать выражение для кинетической энергии непросто, поскольку кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий всех его материальных точек. Шар в данном случае нельзя представить материальной точкой и поэтому необходимо знать скорость каждой из его частиц, которые движутся каждая по своей траектории (попробуйте изобразить эти траектории и тогда сможете оценить красоту и важность теоремы Кенига).

Для нахождения связи между линейной V и угловой скоростью w вспомним, что скорость любой точки твердого тела V_iможно представить в виде суммы двух скоростей: V_с - скорости движения центра масс твердого тела и U_i - скорости этой точки относительно системы координат, связанной и движущейся вместе с центром масс:

. (3)

Применим соотношение (3) к точкам шара, катящегося со скоростью V, и касающимся в некоторый момент времени желоба (точкам мгновенного центра качения):

Величина r, называемая радиусом качения и являющаяся расстоянием между центром скатывающегося шара и мгновенной осью вращения, связана с радиусом шара R (см. Рис.3) соотношением:

. (4)

Рис. 3

Здесь учтено, что скорость точек касания в неподвижной системе отсчета равна нулю, знак минус учитывает направление скорости точек касания в системе отсчета связанной с движущимся центром масс. Поэтому угловая скорость относительного вращения, одинакова для всех точек шара, кроме центра и равна:

(5)

Подставляя формулу (5) в соотношение (2) получим выражение для скорости шара в нижней точке желоба:

(6)

Учитывая, что главный момент инерции шара (при вращении вокруг собственной оси) равен [2, 4], то после подстановки (4) в (6) получим:

(7)

Это соотношение показывает возможность регулирования скорости скатывания шара по желобу не только значением высоты скатывания h, но и углом раствора желоба a. Максимальная скорость достигается при a = p (шар движется по наклонной плоскости). При a » 0 (шар движется между двумя почти параллельными друг другу вертикальными плоскостями) скорость поступательного движения падает почти до нуля - шар только вращается, оставаясь почти на месте. В данной конструкции угол a = 90°, поэтому

(8)

Эта формула является одной из двух рабочих формул для данной работы. По ней можно теоретически вычислить скорость, которую будет иметь шар, скатывающийся по желобу с высоты h и построить график зависимости скорости от высоты различных точек желоба.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒