Вычисление среднего квадратического отклонения ряда измерений

Оценка S_x рассеяния единичных результатов измерений x_i в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, вычисляется по формуле

(3.2)

 

 

Среднее квадратическое отклонение S_x является основной характеристикой величины случайных погрешностей результатов измерений.

Вычисление среднего квадратического отклонения

Результата измерения

Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения используется формула:

(3.3)

Поскольку число измерений n, на основании которых вычислено среднее арифметическое , ограничено, то, повторив заново серию измерений этой же величины, мы получили бы новое значение . Повторив многократно серии измерений и, вычисляя для каждой серии , принимаемое за результат измерения, мы убедимся в рассеянии средних арифметических значений . Значение является оценкой случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений.

Из формулы (3.3) следует, что доверительный интервал среднего арифметического в раз уже доверительного интервала единичных результатов измерений.

Проверка гипотезы о принадлежности результатов измерений

Нормальному распределению

Чтобы установить, что результаты измерений принадлежат (или не принадлежат) тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.

В случае проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению при числе результатов n > 50 предпочтительным является один из критериев: Пирсона χ ² или Мизеса – Смирнова ω ². В работе используется критерий Пирсона.

При числе результатов измерений 15 < n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.

При n < 15 гипотеза о принадлежности результатов измерений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов измерений используется распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.

1. Исправленные результаты измерений располагаются в порядке возрастания: x₁, x₂,..., x_n, где x_i < x_i+1.

2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов измерений:

R_n = x_n – x₁.

3. Этот диапазон разбивается на r одинаковых интервалов (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3, 32 lg n с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.

4. Определяется ширина интервала:

 

5. Определяются границы интервалов [x_j-1, x_j] так, чтобы верхняя граница j-го интервала x_Jв = j·Δ, а его нижняя граница совпадала с верхней границей (j – 1)-го интервала: x_jн = x_(j-1)н.

6. Для каждого j-го интервала (j = 1, 2,..., r) вычисляются числа n_j – частость попадания результата измерений в интервал.

7. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов измерений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы Δ _j, и на каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна n_j.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.

Критерий согласия Пирсона χ ² характеризует меру отклонения результатов измерений от теоретически предсказанных и рассчитывается по формуле:

(3.4)

где n_j – частость попадания результатов измерений в j-й интервал; P_j – теоретические значения вероятности попадания результатов в j-й интервал, которые вычисляются по формуле:

P_j = Ф(z_jв) – Ф(z_(j-1)в), (3.5)

где Ф(z) – функция Лапласа; Р₁ = Ф(z_1в).

Таблица значений функции Лапласа для некоторых z приведена в [1].

После вычисления значения χ ² для заданного уровня значимости ∝ и числа степеней свободы 𝜈 = r – k – 1 (где r – количество разрядов разбиения; k – число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, причем для нормального распределения k = 2), по таблицам χ ² – распределения находят критическое значение критерия согласия χ ²_кр. В технической практике обычно задаются уровнем значимости α = 0, 05. Значения χ ²_кр для этого уровня значимости приведены в [1].

Если χ ² < χ ²_кр принимают гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых дают формулы (3.1) и (3.2). В противном случае (χ ² ≥ χ ²_кр) гипотеза отвергается.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. IV.1.1.2. Вычисление среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения)
2. IV.1.1.3. Вычисление коэффициента вариации
3. В — косыми рядами (только для гвоздей)
4. Величины и его среднего квадратического отклонения
5. ВЗГЛЯД ЭДГАРА КЕЙСИ НА ОКТАВУ ИЗМЕРЕНИЙ
6. Восточники и западники в рядах еврейства
7. Выберите из данного ряда слов имена числительные. Объясните свой выбор. Определите частеречную принадлежность остальных слов.
8. Выбор средств измерений и контроля
9. Выбор средств измерений и контроля прямобочных шлицевых соединений
10. Вычисление выражений с использованием стандартных функций
11. Вычисление координат вершин теодолитного хода
12. Вычисление определенного интеграла методом подстановки