Площадь поверхности вращения.

Пусть кривая задана уравнением , , и пусть функция

неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на . Тогда поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси , имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле

Если же поверхность получается вращением кривой , заданной уравнением , , вокруг оси , то площадь такой поверхности вычисляется по формуле

Пример.Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными плоскостями, находящимися на

расстоянии друг от друга, называется шаровым поясом высоты . Вычислить площадь шарового пояса высоты , если радиус шара равен .

Решение.Поверхность шарового пояса можно рассматривать как поверхность,

полученную при вращении дуги окружности

, где , , вокруг оси . Так как , то

Тогда = = .

В частности, если , то получаем площадь поверхности сферы .

Объём тела.

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объём . Допустим, что известны площади

сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси . С изменением меняется и площадь сечения, т.е. площадь сечения является некоторой функцией . Если эта функция непрерывна на , то объём тела

В частности, если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии , где , то и получаем формулу

Если же тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной дугой линии , , то его объём

Пример.Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной

трапеции, ограниченной линиями , , .

Решение. = = = .

Лекция 20.

Несобственные интегралы.

При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция ограничена на . В этом случае определённый интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция непрерывна при любом . Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом

Предположим, что при функция имеет конечный предел; этот предел называется сходящимся несобственным интеграломот функции по промежутку и обозначается

Если же этот предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева - прямой , снизу - осью (В случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося - бесконечной)

Если - первообразная для , то

= =

= , где = .

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределам

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами + , где с - любая точка из интервала .

Пример 1. = = = .

Пример 2. = sin - sin 0 = sin .

Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Пример 3. + .Этот интеграл расходится, так как = = = = = .

С помощью следующих двух теорем можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов.

Теорема 1.Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причём

£ ;

если же расходится, то расходится и интеграл .

Теорема 2. Если в промежутке функция меняет знак и сходится, то сходится также .

Интегралы от неограниченных функций.

Если функция не ограничена в окрестности точки с отрезка и непрерывна при и , то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой

= + , где (1)

В случае, когда или , получаем

= (2)

= (3)

Несобственный интеграл (2) или (3) называется сходящимся, если существует конечный предел соответствующего определённого интеграла; в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл (1) называется сходящимся, если существует и конечны оба предела в правой части.

Для интегралов от неограниченных функций справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.

Пример. , - некоторое число.