Метод замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П₁ и П₂ новыми плоскостями П₄ (рисунок 7.1). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рисунок 7.2). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рисунок 7.1).

Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П₄, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П₁. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П₁П₂ в систему П₁П₄, причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А₄ В₄ будет натуральной величиной отрезка АВ.

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рисунок 7.2).

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 7.1. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

 

а) модель	б) эпюр

 

Рисунок 7.2. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций

Способ вращения

а) Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельных плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рисунок 7.3), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В₁.

Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x ). При этом точка А₁ переместиться в А * ₁, а точка В не изменит своего положения. Положение точки А * ₂ находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А * ₁. Полученная проекция В₂ А * ₂ определяет действительные размеры самого отрезка.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 7.3. Определение натуральной величины отрезка методом вращения вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций

 

б) Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рисунок 7.4).

Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в, которые пересекаются в точке К. Для того, чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 7.4. Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси параллельной горизонтальной плоскости проекций

Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h₂ параллельно оси Ох, которая пересекает прямые в точках А₂ и В₂. Определив проекции А₁ и В₁, построим горизонтальную проекцию горизонтали h_1. Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П₁ в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

Таким образом, траектория движения точки К₁ определена прямой К₁О₁, точка О - центр окружности - траектории движения точки К. Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО. Продолжим прямую К₁О₁ так чтобы | КО|=|О₁К * ₁|. Точка К * ₁ соответствует точке К, когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П₁ и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К * ₁ и точки А₁ и В₁ проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П₁, а следовательно и угол j - натуральная величина угла между прямыми а и в.

в) Способ плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рисунок 7.5). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1) При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П₁, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х.

2) В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П₂, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 7.5. Определение натуральной величины отрезка методом плоскопараллельного перемещения

Задание!

Составьте последовательность решения задач для двух способов вращения: способа вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций и способа вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций и способа плоскопараллельного перемещения

Контрольные вопросы

1 С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

2 Назовите способы преобразования комплексного чертежа.

3 Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?

4 В чем сущность преобразования ортогональных проекций?

5 В чем сущность преобразования проекций способом замены плоскостей проекций?

6 Назовите задачи, для решения которых достаточно заменить только одну плоскость проекций.

7 Какие задачи можно решать путем замены двух плоскостей проекции?

8 Каким образом можно определить натуральную величину отрезка прямой общего положения? Задайте прямую общего положения (произвольно) определите ее натуральную величину способом замены плоскостей проекций..

9 Как определить расстояние от точки до прямой?

10 В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?

11 Какие линии используются в качестве осей вращения?

12 Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

13 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

14 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

Метрические задачи

 

Метрические задачи, задачи связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже.
Существует три группы метрических задач:
Группа задач 1	включающая в себя определение расстояний от точки до точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны.
Группа задач 2	включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла).
Группа задач 2, 3	связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).

 

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа.

В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

Определение расстояний между геометрическими моделями пространства. Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей. На рисунке 7.6 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П₂_|_П₁-> П₁_|_П₄, П₄ ||АВ, П₁/П₄ ||A₁B₁;

2) П₁П₄ -> П₄_|_П₅, П₅ _|_AB, П₄/П₅ _|_A₄B₄;

3) M₅K₅ — истинное расстояние от точки М до прямой AB;

Рисунок 7.6

4) чтобы построить проекции перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей, строят основание перпендикуляра — точку К—на прямой АВ из условия, что в системе П4 _|_П5; он занимает положение линии уровня, т. е. M4K4_|_A4B4. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ. Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж.

На рисунке 7.7 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

1) П₁, П₂-> П₁_|_П₄, П₄_|_Q, П₁ /П₄ _|_ h(A, 1)~ 0;

2) М₄K₄ _|_Q₄ — истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;

3) M₁K₁_|_K₄K_l или || П₁/ П₄;

4) K₂построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними.

 

Рисунок 7.7

На рисунке 7.8 определено расстояние между прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых. Сначала построено изображение прямых на плоскости П4_|_П1. В этой системе плоскостей прямые занимают положение линии уровня: а(b)|| П4; П1 /П4 ||а, (b1). В системе плоскостей П4 _|_ П5 прямые занимают проецирующее по отношению к плоскости Пз положение: П5 _|_ а(b); П4/П5 _|_a(b4). Отрезок M5K5между вырожденными проекциями прямых определяет истинную величину расстояния между прямыми а и Ъ.

Рисунок 7.8

 

Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

Определение натуральных величин плоских фигур. Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рисунке 7.9, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П₂ на П₄, приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П₄- Выполнив вторую замену, то есть замену П₄ на П₅, определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рисунок 7.9, б).

Рисунок 7.9

Внимание, задание!	Рассмотрите решение задач на определение расстояний между геометрическими моделями пространства по рисункам 7.6…7.9
Рассмотрите рисунки 7.6 и 7.9, перечертите их в конспект, изучите последовательность решения задачи в процессе создания рисунка

 

Контрольные вопросы

1 Какие задачи называются метрическими?

2 Какие группы задач выделяются в метрических задачах?

3 Как на комплексном чертеже определить расстояние между двумя точками пространства; от точки до прямой; от точки до плоскости?

4 Как определить кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; от прямой до плоскости?

5 Какие построения необходимо выполнить на чертеже, чтобы определить натуральную величину угла между двумя пересекающимися прямыми общего положения?

6 Как по чертежу определить истинную величину угла между плоскостями общего положения, если ребро образованного ими двугранного угла не задано?

7 Какие вы знаете способы построения истинной величины фигуры сечения поверхности плоскостью общего положения?

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Взаимное расположение плоскостей.
2. Индицирование кристаллографических плоскостей и направлений в гексагональных и тригональных кристаллах
3. Картографические проекции, виды проекций гис
4. Порядок введения, замены и пересмотра норм труда
5. Порядок замены ненадлежащего ответчика
6. Способ перемены плоскостей проекций.
7. Технико-экономическое обоснование замены сплава Д16 на сплав АМг6 и низкотемпературной пайки на электронно-лучевую сварку при изготовлении корпуса прибора.
8. Точка в системе трех плоскостей проекций
9. Точка в системе трех плоскостей проекций. Комплексный чертеж точки
10. Экономия от замены бартера денежным обращением
11. Эксперимент 17. Обнаружение проекций