Модуль 6. Аксонометрические проекции

Теорема Польке

Рассмотрев общие сведения об аксонометрических проекциях, можно сделать следующие выводы:

- аксонометрические чертежи обратимы;

- аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве.

Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям.

Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Очевидно, возможно и обратное. На плоскости можно выбрать произвольное положение осей с произвольными аксонометрическими масштабами.

В пространстве всегда возможно такое положение натуральной системы прямоугольных координат и такой размер натурального масштаба по осям, параллельной проекцией которых является данная аксонометрическая система.

Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длины на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

14.3Стандартные аксонометрические проекции

Согласно ГОСТ 2.317-69, из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию.

Между коэффициентами искажения и углом φ, образованным направлением проецирования и картинной плоскостью, существует следующая зависимость:

u²+υ ²+ω ²=2+ctq²φ,

если φ =90^o, то u²+υ ²+ω ²=2.

В изометрии u=υ =ω и, следовательно, 3u²=2, откуда u=Ö 2/3 ≈ 0, 82.

Таким образом, в прямоугольной изометрии размеры предмета по всем трем измерениям сокращаются на 18 %. ГОСТ рекомендует изометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат (рисунок 14.2), что соответствует увеличению изображения против оригинала в 1, 22 раза.

При построении прямоугольной диметрической проекции сокращение длин по оси y' (рисунок 14.3)принимают вдвое больше, чем по двум другим, т.е. полагают, что

u=ω, а υ =0, 5u.

 

Тогда 2u²+(0, 5u)²=2, откуда u²=8/9 и u≈ 0, 94, а υ =0, 47.

 

В практических построениях от таких дробных коэффициентов обычно отказываются, вводя масштаб увеличения, определяемый соотношением 1/0, 94=1, 06, и тогда коэффициенты искажения по осям x' и z' равны единице, а по оси y' вдвое меньше υ =0, 5.

Увеличение изображения в диметрии против оригинала получается в 1, 06 раза.

Из косоугольных аксонометрических проекций ГОСТом предусмотрено применение фронтальной и горизонтальной изометрии и фронтальной диметрии (последнюю ещё называют кабинетной проекцией).

Рисунок 14.2. Расположение осей в изометрии	Рисунок 14.3. Расположение осей в диметрии

 

Окружность в аксонометрии

При параллельном проецировании окружности на какую-нибудь плоскость П* получаем ее изображение в общем случае в виде эллипса (рисунок 14.4).

Как бы ни была расположена плоскость окружности, сначала целесообразно построить параллелограмм A*B*C*D* – параллельную проекцию квадрата ABCD, описанного около данной окружности, а затем с помощью восьми точек и восьми касательных вписать в него эллипс.

Точки 1, 3, 5 и 7 – середины сторон параллелограмма. Точки 2, 4, 6 и 8 расположены на диагоналях так, что каждая из них делит полудиагональ в соотношении 3: 7.

Действительно, на основании свойств параллельного проецирования можно записать, что А2/1О=A*2 * /2*O*, Но А1/1О=(r√ 2-r)/r≈ 3/7.

Из восьми касательных к эллипсу первые четыре – это стороны параллелограмма, а остальные t₂, t₄, t₆ и t₈ – прямые, параллельные его диагоналям. Так касательная t₂^* к эллипсу параллельна диагонали C*D*, Объясняется это тем, что t₂^* и C*D* являются проекциями двух параллельных прямых t₂ и CD. Графические построения, предшествующие вычерчиванию самого эллипса, целесообразно выполнять в следующей последовательности (рисунок 14.5):

1 Построить аксонометрическую проекцию квадрата - параллелограмм A*B*C*D* и провести диагонали A*C* и B*D*;

2 Отметить середины сторон параллелограмма – точки 1*, 3*, 5* и 7* ;

3 На отрезке 3*B*, как на гипотенузе, построить прямоугольный равнобедренный треугольник 3*KB*;

4 Из точки 3* радиусом 3*K описать полуокружность, которая пересечет A*B* в точках L и M; эти точки делят отрезок 3*A* и равный ему отрезок 3*B* в отношении 3: 7;

5 Через точки L и М провести прямые параллельные боковым сторонам параллелограмма, и отметить точки 2*, 4*, 6* и 8* расположенные на диагоналях;

6 Построить касательные к эллипсу в найденных точках. Касательных t₂ и t₆ параллельны BD, а касательных t₄ и t₈ параллельны AC.

Получив восемь точек и столько же касательных, можно с достаточной точностью вычертить эллипс. ГОСТ 2.317-69 определяет положение окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций для прямоугольной изометрической проекции (рисунок 14.6) и для прямоугольной диметрии (рисунок 14.7).

 

Рисунок 14.4. Проецирование окружности на плоскость

Рисунок 14.5. Построение эллипса

Рисунок 14.6. Изометрические проекции окружностей	Рисунок 14.7. Диметрические проекции окружностей

 

Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1, 22, а малая ось -0.71 диаметра окружности.

Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая - 0.58 диаметра окружности.

Если димметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1, 06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.95, эллипсов 2 и 3 - 0.35 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.9, эллипсов 2 и 3 - 0, 33 диаметра окружности.

1-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси y ); 2-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси z ); 3-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси x ).

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A.7.15. Модуль стеклоочистителя / стеклоомывателя
2. A.7.7. Модуль 5: Манометры и световые индикаторы тормозной системы
3. Аппарат пароварочный электрический секционный, модульный АПЭСМ-2
4. Картографические проекции, виды проекций гис
5. Метод астральной проекции с использованием чакр
6. Модуль 1. Введение. Модели проецирования.
7. Модуль 1. Математические модели многомерных САУ
8. Модуль 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕКРЕАЦИОННОЙ ГЕОГРАФИИ
9. Модуль 2 Психолого-педагогическая диагностика личности
10. МОДУЛЬ 2. Порядок формирования и АНАЛИЗа бухгалтерской информации
11. Модуль 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕКРЕАЛОГИИ И ГЕОГРАФИИ ТУРИЗМА
12. Модуль 3. СССР в 20-х – 90-х гг. 20 века. Новая Россия.