IV. Порядок выполнения работы

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

Исходные данные для задачи:

Построить множество Парето для функций:

(1)

При ограничениях:

(2)

Для построения множества будем использовать следующую методику:

Возьмем два строго положительных числа и , причем

. (3)

Составим новый критерий

(4)

и решим следующую задачу математического программирования:

(5)

Решение этой задачи определяет такой , что точка принадлежит множеству Парето.

Переберем значения от 0 до 1 с шагом 0.1. На рисунке 5 приведены 5 кривых для различных случаев сочетаний и . Легко заметить, что при мы имеем в качестве критерия - параболу, ветви которой направлены вверх, а, следовательно, при ограничениях (2) максимум будет достигаться при . Значения функций при этом будут .

Рисунок 5

при ограничениях (2)

Решением будет . При этом получаются следующие значения функций:

Теперь, по найденным точкам построим множество Парето (рисунок 6)

Рисунок 6 – множество Парето

Практическая работа №9

Статистический анализ систем по методу группового

учета аргументов.

I. Цель работы.

Цель работы заключается в изучении методов статистического анализа систем, метода группового учета аргументов для построения эффективного (оптимального) уравнения связи элементов системы.

II. Краткие сведения из теории.

Среди многочисленных методов статистического анализа (корреляционный и регрессионный, компонентный, кластерный, дисперсионный, спектральный) особое место занимает так называемый метод группового учета аргументов - МГУА. Метод позволяет исследовать системы, рассматриваемые на уровне абстракций “ черного ящика”, переводит их на более высокий уровень познания. Исходная ситуация заключается в представлении некоторого объекта совокупностью присущих ему состояний S , S ,...., S , по которым можно судить о его поведении внутри системы либо за ее границами (формальный математический подход приводит к известным задачам аппроксимации и экстраполяции соответственно).

Каждое состояние обычно характеризуется набором параметров (x , x , ..., x , x ), номенклатура которых устанавливается на основе логики и здравого смысла (инкрементальный подход), поэтому

S = S (x , x , ..., x , x ).

Среди рассматриваемых параметров обычно выделяются несколько наиболее значимых, которые обычно олицетворяют цель исследования. Именно такой смысл вкладывают в термин результативный признак, символизируя его иным образом, например - . Не нарушая общности можно считать, что таким параметром является x , поэтому = x .

Таблица 5.1 Номер Параметры системы состояния

.........

------ -------- ------------- -------- ------------ K

Таким образом исходную для анализа информацию целесообразно представить в виде таблицы.

Иногда подобные системы представляют несколько по иному, подчеркивая активную роль субъекта при исследовании. Подобная ситуация рассматривается в теории эксперимента, а схематичное изображение “черного ящика” приобретает вид согласно рисунку 1.

Рис. 1. Модель “черного ящика”

При этом предполагается, что механизм взаимодействия является достаточно сложным, то есть изучаемая система плохо организована. Тем не менее ставится задача по определению математической зависимости связи результативного признака c набором управляемых параметров x , x , ..., x , которые предполагаются независимыми. В этом случае полагают, что объект соответствует модели “ полупрозрачного ящика”.

Построение и анализ эффективного уравнения связи Y= ( уравнение регрессии, обычно рассматривается полиноминальный тип), собственно, и является главным моментом в теории статистических методов, так как именно результативный признак используется в дальнейшем для управления объектом, выводе системы на экстремальный уровень, прогнозирования за границами системы и реализации иных приложений. С познаний системного анализа результативный признак образует основу для принятия последующего решения, которое должно учитывать все выявленные особенности задачи.

Сложность порождает ряд проблем, свойственных статистическому анализу.

1. Какова структура связи исследуемых параметров? В каком формальном виде следует определять эту зависимость (линейная, полиноминальная модель более высокого порядка, экспоненциальная, показательная и т.д. )?

2. Какие состояния системы целесообразно использовать для построения модели? Как организовать эксперименты, измерения элементов системы?

3. Какие элементы системы следует включать в программу исследования? Какие из них являются наиболее значимыми в контексте рассматриваемой задачи? Как оценить риск, связанный с тем, что некоторые из них не рассматриваются?

( Обычно на первых этапах изучения сложных процессов включают все предполагаемые независимые переменные, большая часть которых в дальнейшем отсеивается планирование отсеивающих экспериментов).

4. Как обработать результаты наблюдений (измерений) для получения достоверной зависимости исследуемых величин?

5. Как поставить формальное представление системы с ее качественными характеристиками? Как интерпретировать модель на физическом уровне?

6. Как быть в тех случаях, когда не выполняются исходные предпосылки статистики основополагающие требования эффективности, состоятельности и несмещенности оценок, однородность выборочных дисперсий, нарушенные нормальности распределения и другие?

Следует отметить, что указанные сложности неоднозначны при интерполяционном, экстраполяционном и аппроксимационном подходах и связаны с отсутствием четкой логической концепцией, способной служить основой для разработки стандартизованных методов анализа и редукции (свертки) статических данных, что, естественно, приводит к неоднозначности суждений в зависимости от субъективного понимания ситуации конкретным исследователем.

Использование машинного эксперимента при анализе сложных ситуаций открывает возможность представление системы не одной, а несколькими моделями. Рассматривая их с различных позиций, отдавая предпочтения логике, здравому смыслу и интуиции приходим к принципиально иному подходу - инкрементальному анализу систем.

Именно с таких позиций следует рассматривать метод группового учета аргументов. В его основе лежит идея построения аппроксимирующей функции , минимизирующей сумму квадратов отклонений теоретических (Y) и экспериментальных ( ) данных:

(1)

при этом Y= ,

к - количество статических (экспериментальных ) данных.

Среди различных подходов к построению теоретической модели наиболее универсальным и эффективным является подход, основанный на использовании полиномов. Существует много полиномов различной структуры, каждый из которых в равной степени претендуют на эффективное отображение исходной статистики. В частном случае можно рассматривать полиномы, объединяющие группы из двух переменных ( два элемента системы), связь которых с результативным признаком У проявляется наиболее существенно, а уже потом уточнять модель включением других элементов системы. Поэтому запись

(2)

в дальнейшем будет означать, что для каждого набора точек , существует некоторое отображение Y в форме полинома, а единичный индекс означает, что данная процедура выполняется первых раз - первая селекция.

Предположим также, что степень полинома не превышает двух, тогда

(3)

поэтому число таких полигонов составит

Для каждой переменной в дальнейшем целесообразно выделить только те уравнения (3), которые соответствуют наименьшей дисперсии . Например, для десяти переменных (n=10) следует построить 45 моделей типа (3) и отобрать для каждой из них наиболее эффективные, то есть выделить 10-ть уравнений. В результате все элементы системы будут участвовать в ее представлении в виде парных связок (см. рис. 3). Если для некоторой переменной значение дисперсии (1) оказывается высоким, то это свидетельствует, как правило, об отсутствии рассматриваемой связи по переменной .

= ...

МНК МНК МНК

= ...

Рис. 2. Последовательная процедура группового учета

аргументов на основе многократного использования метода

наименьших квадратов (МНК).

Основная суть метода группового учета аргументов заключается в том, что применяя определенную процедуру несколько раз (порождая селекции), образуют более сложные связи вплоть до включения всей совокупности элементов системы (см. рис. 2, рис.3, табл. 2). При этом степень полинома на “r” селекции равна числу 2 r.

Так, например, первая селекция ( верхний индекс “1”) порождает зависимую от исходной новую статистику, формально выраженную как , поэтому

(4)

где, например, равенство означает, что выход первой селекции является входом второй селекции, а формальная запись выражает наиболее сильную связь первой переменной c другой переменной , входящей в состав исходной группы.

....

исходная порожденная полученные уравнения статистика статистика связи “r” селекции Рис. 3. Последовательность обработки исходной статистики.

Аналогичной символикой можно представить все этапы процедуры МГУА в виде рядов селекций:

(5)

либо

(6)

Примечание: индексы типа i r либо i r-1 понимать соответственно как и

Учитывая вложенность рассматриваемого построения, целесообразно представить результирующее взаимодействие Y как сложную функцию:

(7)

которая является результатом сложного взаимодействия и многократного отображения исходной статистики

Для выражения исходной связи в аналитическом виде необходимо выполнить обратную процедуру, в результате чего может быть получена исследуемая зависимость в виде

то есть установлена связь независимых переменных и результативного признака. Это достигается последовательной подстановкой соответствующих уравнений регрессии в вышестоящие селекции по схеме

а связь между селекциями отражает система уравнений:

(8)

где - коэффициент уравнения регрессии, r - число рядов селекций.

III. ЗАДАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. На основании табл.1 и табл. 2 выполнить исходную статистику согласно варианту задания (номер по списку). В табл. 2 представлены все показатели исследуемого объекта - системы (машиностроительное предприятие) и три результативных признака y₁, y₂, y₃. В табл. 1 для каждого варианта рассматривается только один результативный признак Y, а графо факторные признаки (в задаче 2) указывает на необходимость рассмотрения либо всех признаков x₁, x₂,..., x₁₄, либо части, за исключением из полного множества тех, которые перечислены. В задаче 1 конкретно указано 2 либо 3 факторных признака.

2. Решить задачу 1 используя программу MGUA. Управляющие данные и исходную статистику представить согласно прилагаемой инструкции (см. пункт IV).

2.1. В результате нескольких запусков (допустим: 1) LH=3, LB=3; 2) LH=3, LB=4; 3) LH=6, LB=6) выявить «ошибочную» статистику (явно не вписывается в предполагаемую закономерность), т.е. те предприятия, значения параметров которых не соответствуют общим тенденциям.

2.2. Удалить «ошибочную» статистику и выполнить подобные расчеты с целью уже выявления оптимального уравнения связи. Для каждого ряда (селекции) есть свое лучшее уравнение, определяемое по критерию среднеквадратичного отклонения. Однако с некоторого момента (номера ряда) улучшение ситуации не происходит, математическое отображение взаимосвязи ухудшается, становится не эффективным - сложность модели возрастает, а точность снижается.

2.3. Восстановить искомую зависимость в исходных переменных , постепенно перемещаясь с оптимального ряда на первый уровень и выполняя рассматриваемые в разделе II подстановки и преобразования.

2.4. Проанализировать полученное уравнение связи, исходя из предпосылок. Сделать необходимые выводы.

3. Решить задачу 2 подобным образом, но учитывая то обстоятельство, что некоторые из многочисленных входных величин x_1, x_{2, ...,}x_n реально не влияют на результативный признак. То есть необходимо выявить посредством эксперимента не влияющие факторы, исключить их из исходной статистики, а уже потом определить подходящую математическую модель системы.

Таблица 3. Варианты задач по статистическому анализу методом МГУА.

Номер варианта	Результативный признак	Факторные признаки	Номер варианта	Результативный признак	Факторные признаки
		задачи 1	задачи 2			задачи 1	задачи 2
	Y1	x1, x3	все		y3	x1, x4	x13
	y2	x1, x5	все		y2	x5, x9	x14
	y2	x1, x7	x2		y3	x8, x10	x3
	y2	x1, x11	x3		y3	x7, x14	x4
	y2	x1, x10	x4		y3	x3, x6	x5, x9
	y1	x3, x4	x5		y3	x1, x14	x4
	y2	x3, x11	x6		y1	x2, x6	x11, x12
	y2	x3, x4, x11	x4, x11		y1	x3, x7	x11, x12, x13
	y1	x3, x5	x8		y2	x5, x8	x2, x3
	y2	x11, x14	x8, x9		y2	x9, x10	x4, x5
	y2	x1, x6	x10		y3	x4, x11	x12, x13
	y2	x1, x12	x10, x5		y3	x1, x12	x12
	y2	x1, x2	x12

Таблица 4. Значение показателей производственно-хозяйственной деятельности

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 Следующая ⇒