Непрерывность функции в точке, на отрезке.

Пусть функция у=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(39).

Равенство (39) означает выполнение трех условий:

1) функция f(x) определена в точке х₀ и в ее окрестности;

2) функция f(x) имеет предел при ;

3) предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (39).

Так как , то равенство (39) можно записать в виде

(40)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

Например, .

Сформулируем еще одно, второе определение непрерывности.

Дадим аргументу х₀ приращение . Тогда функция у=f(x) получит приращение , определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: .

Запишем равенство (39) в новых обозначениях. Так как и одинаковы, то равенство (39) примет вид или

(41)

Полученное равенство (41) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (41), т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция у=f(x) называется непрерывной в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=f(x) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и в точке х=а непрерывна справа(т.е. ), а в точке х=b непрерывна слева(т.е. ).

Точки разрыва функции и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ – точка разрыва функции у=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х_0, но не определена в самой точке х₀.

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела f(x) при .

3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, существует предел , но этот предел не равен значению функции в точке х₀: .

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. и . При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка х₀ называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Свойства непрерывных функций

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f(x) и φ (x) непрерывны в точке х₀, то их сумма f(x)+φ (x), произведение f(x)φ (x) и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке х₀_.

2. Если функция у=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(х₀)> 0, то существует такая окрестность точки х₀, в которой f(х)> 0.

3. Если функция f(и)> 0 непрерывна в точке и₀, а функция и= φ (x) непрерывна в точке и₀= φ (x₀), то сложная функция у= f(φ (x)) непрерывна в точке х₀.

Свойство 3 может быть записано в виде

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция у=f(x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и значенияее на концах отрезка f(а) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, f(ξ )=0 (теорема Больцано-Коши).

Производная функции.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒