Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f(х) задана неявно в виде уравнения F(х; у) = 0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 11. Найти производные данных функций

а) ; б) ;

в) ; г) < 1;

д) ; е) .

Решение.

а) Применяя правило дифференцирования дроби и формулы (3); (16), имеем

б) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

в)

г)

д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

или .

Теперь дифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x.

откуда

е) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную y', надо продифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной y'. Имеем:

Из полученного равенства, связывающего х, у и y', находим производную y':

откуда

Пример 12. Найти производную второго порядка :

а)

б)

в)

Решение.

а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

откуда

Снова дифференцируем по х обе части равенства:

Заменив y' в правой частью, получим

б) Найдем первую производную данной функции

Найдем производную от первой производной, получим вторую производную функции :

в) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную y', находим сначала дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:

Тогда

Производная второго порядка . Значит, чтобы найти y'', надо найти дифференциал dy':

Тогда

Применение производной к исследованию функций.

Возрастание и убывание функций.

При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т.е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего.

Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.

Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно – только возрастают или только убывают (например ).

Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают (например, sin x, cos x).

Возрастание и убывание функции характеризуется значением ее производной : если в некотором интервале > 0, то функция возрастает, а если < 0, то функция убывает в этом интервале.

Экстремум функции.

Значение функции в точке х_о называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа отх_о.

Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

В соответствующих точках графика функции касательная параллельна оси абсцисс , или оси ординат или нет определенной касательной (например, как в угловой точке).

Точками экстремума являются все точки, где функция меняет свое поведение и непрерывна.

Точки, при переходе через которые аргумента х возрастание функции сменяется на убывание, являются точками максимума, а точки, при переходе через которые аргумента х убывание функции сменяется на возрастание, являются точками минимума.

Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках, где ее производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна.

Отсюда вытекает следующее правило исследования функции на экстремум.

Чтобы найти точки экстремума функции , в которых она непрерывна, нужно:

1. Найти производную и критические точки, в которых =0 или не существует, а сама функция непрерывна, и которые лежат внутри области определения функции.

2а. Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента х через критическую точку х_о:

1) меняет знак с + на -, то х_о есть точка максимума;

2) меняет знак с - на +, то х_о есть точка минимума;

3) не меняет знака, то в точке х_о нет экстремума.

Иногда проще исследовать критические точки, где , по знаку второй производной, - вместо правила 2а можно пользоваться следующим правилом:

2б. Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Если в критической точке х_о, где :

1) > 0, то х_о есть точка максимума;

2) < 0, то х_о есть точка минимума;

3) =0, то вопрос о наличии экстремума в точке х_о остается открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую, можно исследовать по правилу 2а.

Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значения функции в найденных точках экстремума.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒