I. Введение понятий «первообразная», «интеграл»

Цель. Установить место, цели изучения понятий «первообразная», «интеграл» в курсе алгебры и начал анализа XI класса; выявить некоторые особенности введения указанных понятий.

Оборудование. 1. Набор кодопозитивов с условиями задач для введения понятия «первообразная», задач, которые целесообразно использовать для установления связей между понятиями «первообразная», «интеграл».

2. Схема взаимосвязей между понятиями, свойствами понятий темы «Первообразная и интеграл».

План реализации первой части работы

1. Установление цели, места изучения вопросов, связанных с понятием «интеграл».

2. Изложение содержания учебного материала темы.

3. Выполнение практических заданий, связанных с анализом материала темы в школьных учебных пособиях.

4. Выводы.

Основное содержание

1. Основная образовательная цель изучения темы «Первообразная и интеграл» может быть сформулирована следующим образом:

- познакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций;

- познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания.

Воспитательная и развивающая цели изучения указанной темы связаны с формированием диалектико-материалистического мировоззрения («Развитие у учащихся правильных представлений о природе математики, сущности и происхождении математических абстракций, соотношении реального и индивидуального, ... месте математики в системе наук и роли математического моделирования в научном познании и в практике... » [119]):

- ввести новый метод решения ряда задач (в частности, нахождение площади, объема фигуры), показать известную универсальность математических методов;

- продемонстрировать основные этапы решения прикладных задач средствами математики.

Теме «Первообразная и интеграл» предшествует тема «Производная и ее применение». Такая последовательность изучения материала создает предпосылки для

во-первых, понимания учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функции, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений (зная функцию, можно установить характер локальной ее изменяемости в зависимости от изменения аргумента, и наоборот: зная характер локальной изменяемости функции, можно найти либо саму функцию (при заданных начальных условиях), либо семейство функций);

во-вторых, осознания учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла — основа метода математического анализа: с одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира; с другой — как инструмент, с помощью которого с учетом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

2. Основу содержания темы составляют два круга вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: «первообразная», «интеграл».

В связи с понятием первообразной рассматриваются определение этого понятия, основное свойство первообразной (в том числе его геометрический смысл), правила нахождения первообразных.

Поскольку «задача отработки навыков нахождения первообразных не ставится» (Математика в шк.- 1986.- №3.- С. 44), то упражнения, которые учащиеся должны уметь решать, ограничиваются несложными задачами на применение правил нахождения первообразных. Программа по математике для средней школы предполагает знание учащимися первообразных степенной функции с целым ( ) показателем, функций синус и косинус.

С понятием «интеграл» связано рассмотрение вопросов о площади криволинейной трапеции, приближенном вычислении интегралов, получении формулы Ньютона-Лейбница.

В качестве примеров, иллюстрирующих применение интеграла к решению различных задач, в основном рассматриваются задачи на нахождение площадей криволинейных трапеций. Вопросу вычисления объемов тел с помощью интеграла уделяется внимание, но этот материал становится предметом специального изучения в курсе геометрии (в учебном пособии А.В. Погорелова [113] общая формула для нахождения объемов тел вращения используется для получения формулы, позволяющей найти объем шара и его частей).

Таким образом, основное внимание при изучении темы уделяется, во-первых, нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблицы первообразных и правил нахождения первообразных; во-вторых, вычислению площадей криволинейных трапеции.

3амечание. Еще раз хотим обратить внимание, что поскольку программа по математике не предусматривает формирование у учащихся навыков интегрирования, а нацеливает лишь на обращение к простейшим случаям применения формул для нахождения интеграла данной функции, то овладение техникой интегрирования не предполагается.

3. Выделим ряд практических заданий, на выполнение которых целесообразно ориентироваться в процессе анализа материала темы «Первообразная и интеграл» и которые связаны с ответом на следующие вопросы:

1) Каковы задачи изучения рассматриваемой темы?

Ответ на поставленный вопрос предполагает обращение к целям изучения темы «Первообразная и интеграл» в курсе математики средней школы и учет основного содержания этой темы. В качестве таких задач можно указать следующие:

- ввести понятия первообразной и интеграла;

- познакомить учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных (правилами интегрирования);

- раскрыть смысл операции интегрирования как операции, обратно по отношению к операции дифференцирования заданной функции;

- выделить типы задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объема тела, задачи с физическим содержанием); показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

2) Какой теоретический материал следует считать основным с учетом сформулированных выше целей и задач изучения темы «Первообразная и интеграл»?

В этот материал необходимо включить:

- понятие первообразной, основное свойство первообразной;

- понятие интеграла функции;

- связь между понятиям и «интеграл» и «первообразная», которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

- формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.

Каковы особенности изучения основного материала темы?

Ответ на этот вопрос предполагает раскрытие сущности рассматриваемых понятий; установление связей между вводимыми элементами материала и теми, которые уже изучены и помогают усвоению нового; выявление роли задач на этапах введения новых понятий, их применения, установления связей между введенными понятиям и и т.п. При этом естественно обратиться к изложению (или различным вариантам изложения, предложив их сравнительный анализ) материала темы в имеющихся в настоящее время учебных пособиях [5], [9], [13].

Предложим схемы ответов на поставленный вопрос, имея в виду указанные выше основные элементы материала темы.

3) Понятие первообразной, основное свойство первообразной.

Оба учебных пособия используют следующую схему изложения материала:

а) Создание установки на введение нового понятия и изучение свойств этого понятия. С этой целью внимание обращается на две взаимно обратные задачи: нахождение скорости и ускорения тела при свободном падении (к определенному моменту времени), если известен закон изменения пути; установление закона изменения скорости (пути), если задан закон изменения ускорения (скорости). Вторая задача формулируется в общем виде, а именно: дана производная некоторой функции, нужно на заданном промежутке найти саму функцию.

В связи с необходимостью решения этой задачи вводим новую операцию — интегрирование.

б) С операцией интегрирования (восстановления функции по ее производной) связаны:

- понятие первообразной;

- основное свойство первообразной;

- правила нахождения первообразных.

Указанные вопросы вводятся дедуктивно, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления. Об этом свидетельствуют и формулировки задач: «доказать, что функция F является первообразной для функции f на заданном промежутке», «Найти первообразную для данной функции на указанном промежутке», «Найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку» и т.п.

К каким выводам приводит анализ материала учебных пособий, связанного с понятием «первообразная»?

Во-первых, учитель должен подготовить изучение темы: он должен четко представлять себе, что для этого нужно сделать, какой материал повторить, какие приемы целесообразно использовать.

Очевидно, целесообразно обратиться к

таблице производных изученных функций;

геометрическому и физическому смыслу производной;

правилам дифференцирования.

При этом можно использовать вопросы теоретического и практического содержания, специально подобранные задачи.

Во-вторых, введение понятия первообразной и изучение основного свойства первообразной полезно предварить работой с конкретными задачами.

Приведем примеры:

Задача 1. Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти закон изменения пути в зависимости от времени.

Задача 2. Найти уравнение кривой, угловой коэффициент касательной к которой в любой точке некоторого промежутка задается следующим образом: .

В процессе решения этих задач внимание учащихся обращается на связь данного и искомого (данная функция есть производная искомой). В первом случае скорость движения тела в каждый момент времени известна, она является производной соответствующего пути; значит, требуется найти такую функцию, производная которой равна 2t. Во втором случае дана формула, определяющая производную некоторой функции в каждой точке фиксированного промежутка, а нужно найти функцию (производная функция равна );

Какие выводы следует сделать в результате анализа решений обеих задач?

- Решение состояло в нахождении функции по известной производной.

- Функций, которые удовлетворяют условиям предложенных задач, бесконечно много.

Таким образом, мы, с одной стороны, создали базу для введения понятия первообразной и операции интегрирования как обратной операции дифференцирования функции, а с другой, оказываемся в условиях целесообразности формулирования и доказательства теоремы, которая выражает основное свойство первообразной.

В-третьих, целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(х)+C (общий вид первообразных для функции f(х) на заданном промежутке) связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной С, а с другой, в зависимости от условия предложенной для решения задачи — с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач.

В первой из них в качестве искомой могла быть указана, например, функция вида , во второй — (С — некоторая постоянная). Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти уравнение пути, если за 2 с тело прошло 15 м (найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А (1; 2)). Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям. Каждая из таких первообразных определяется однозначно:

Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).

Заметим, что обращение к указанным задачам дает возможность создать базу для раскрытия геометрического смысла основного свойства первообразной.

В-четвертых, изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимнообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.

Например, введение третьего правила (если F (х) — первообразная для функции f (х), а и b — постоянные, то есть первообразная для функции ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:

- найти производные функций

- найти хотя бы одну первообразную для функции

Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.

4. Введение понятия интеграла. Установление связи между понятиями «интеграл» и «первообразная».

Следует обратиться к схемам изложения материала, связанного с указанным вопросом, в учебном пособии [9] и пробном учебнике [5], и установить, в чем их отличие.

Учебное пособие [9] рассматривает:

1) Площадь криволинейной трапеции как приращение первообразной непрерывной функции, заданной на отрезке:

- понятие криволинейной трапеции;

- теорема, дающая один из подходов к задаче нахождения площади криволинейной трапеции ( где F — первообразная для непрерывной, неотрицательной на отрезке [a; b] функции f);

- утверждение: любая непрерывная на данном промежутке функция имеет на нем первообразную.

2) Интеграл:

- второй подход к задаче нахождения площади криволинейной трапеции (фактически рассмотрение предела интегральных сумм);

- понятие интеграла как числа, к которому стремятся интегральные суммы (при );

- связь между интегралом непрерывной, неотрицательной на отрезке [a; b]функции и площадью соответствующей криволинейной трапеции.

3) Формулу Ньютона-Лейбница:

- сравнение результатов решения задачи о площади криволинейной трапеции при двух рассмотренных подходах (вывод: где F — первообразная для непрерывной, неотрицательной на отрезке [a; b]функции f);

- вывод о справедливости полученной формулы для любой непрерывной на отрезке функции (без доказательства).

Изложение соответствующего материала в пробном учебнике [5] принципиально не отличается от изложения в пособии [9], хотя есть расхождения в последовательности рассмотрения отдельных вопросов. Схема изложения может быть условно представлена следующим образом: понятие криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции как предел соответствующих интегральных сумм (площадь под графиком некоторой функции, заданной на отрезке) — интеграл от функции на отрезке как предел интегральных сумм — связь между интегралом непрерывной неотрицательной на отрезке функции и площадью криволинейной трапеции — получение формулы Ньютона-Лейбница, устанавливающей связь между интегралом и первообразной и позволяющей вычислить интеграл (так же, как и в пособии [9], формула Ньютона-Лейбница выводится на основе наглядных представлений в процессе решения задачи на нахождение площади криволинейной трапеции как приращения первообразной).

С рассматриваемым теоретическим материалом связаны два основных вида задач. Они, как правило, предлагаются в следующих формулировках: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями; вычислить интеграл.

Замечание. К понятию интеграла, как известно, приводит не только задача о площади криволинейной трапеции, но и другие задачи, например задача о работе силы, задача о количестве электричества, протекающем за данный промежуток времени через поперечное сечение проводника. С методикой использования этих задач для введения понятия «интеграл» можно познакомиться в книге [70].

Анализ материала учебных пособий, связанного с введением понятия «интеграл» и получением способа вычисления интегралов, приводит к ряду важных в методическом отношении выводов, которые полезно иметь в виду, разрабатывая методику изучения отдельных вопросов рассматриваемой темы. Что это за выводы?

Во-первых, определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. Понятно, что в процессе их доказательства понятие интеграла, его геометрический смысл будут глубже усваиваться учащимися. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:

- если функция f имеет на отрезке [a; b]первообразную, то (с — некоторая постоянная);

- если функции и имеют на отрезке [a; b]первообразные, то

- если то (№ 455, [9]);

- доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования где f(х) — функция, непрерывная на интервале, содержащем точки а и х (№457, [9]).

Предложенные упражнения полезны еще и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями «производная», «первообразная», «интеграл» и их свойствами.

Следует подумать о месте включения этих упражнений в учебный материал и методике работы с ними.

Во-вторых, понятие интеграла вводится для функции, непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:

Задача 1. Возможно ли вычислить (подынтегральная функция имеет точку разрыва , принадлежащую отрезку )?

Задача 2. Найти ошибку в вычислении интеграла

(О том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом.)

Задача 3. При каких значениях пределов интегрирования интеграл существует

(В точках подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:

и ;
;
.)

Задача 4. Вычислить:

а) б) в) .

(В двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, так как подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного пределами интегрирования.)

В-третьих, установление связей между понятиям и «интеграл» и «первообразная» (точнее приращение первообразной) происходит через обращение к площади соответствующей криволинейной трапеции. Следовательно, значительное внимание при изучении материала нужно уделить геометрическому смыслу интеграла, не ограничиваясь при этом только использованием геометрических иллюстраций в процессе решения задач на вычисление интегралов.

Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла, иногда получаем возможность

установить существование более простого по сравнению с рассмотренным способа вычисления интегралов (например, по симметричному относительно точки О промежутку от четной или нечетной функции). Сделать это можно, обратившись к задачам:

Задача 1. Показать, что если f — непрерывная, четная на отрезке [-а; а]функция, то

Задача 2. Показать, что если f — непрерывная, нечетная на отрезке [-а; а]функция, то

Задача 3. Вычислить:

не только вычислять площади фигур, но и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным учащимся формулам выполнить не удается.

Например:

Замечание. Можно предложить следующую схему введения понятия «интеграл»:

понятие криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции как приращение первообразной соответствующей непрерывной функции, заданной на отрезке, - понятие интеграла (интеграл непрерывной функции на отрезке есть приращение первообразной для этой функции:

В чем достоинства и недостатки предложенной схемы введения понятия «интеграл»? Возможно ли следовать ей при изучении материала соответствующей темы школьного курса математики? Как должно быть организовано в этом случае изучение материала?

5. Какова схема, отражающая связи между понятиям и, свойствами понятий темы «Первообразная и интеграл»?

Эту схему наглядно можно представить, например, следующим образом:

Анализ предложенной схемы убеждает в правомерности методических выводов, которые сделаны на основе обращения к материалу учебных пособий [5], [9], [13] и отражены в этом параграфе.

6. Обратимся к задачам, которые предложены учебными пособиям и [5] и [9] в теме «Первообразная и интеграл».

Можно ли утверждать, что, рассматривая с учащимися способы решения этих задач, организуя самостоятельную работу школьников с ними, мы реализуем основные цели изучения темы?

Ответ на этот вопрос предполагает выделение трех групп задач:

- задачи, которые непосредственно направлены на формирование понятий, использование свойств понятий, закрепление способов деятельности с введенными понятиям и (задачи, которые в большей мере несут дидактическую функцию);

- задачи, в результате решения которых получаем либо новый факт (он может быть полезен в будущем), либо новый способ решения задач определенного вида (познавательные задачи);

- задачи, в процессе решения которых формируются операции, приемы мышления, создаются предпосылки для осуществления творческой деятельности, в том числе и математической (задачи, основная функция которых развивающая).

Очевидно, что с группой общеобразовательных целей изучения темы в большей мере должна соотноситься группа задач с дидактическими функциями, ряд познавательных задач при определенных условиях тоже может быть использован для реализации указанных целей.

Воспитательная и развивающая цели изучения материала достигаются в процессе решения всех трех групп задач, но наибольшую значимость в данном случае имеют развивающие и познавательные задачи.

Ориентируясь на материал пособий [5], [9], следует отнести предлагаемые задачи к одной из указанных выше групп и указать, какова конкретная «нагрузка» отдельных задач или их серий.

7. Какими знаниями и умениями должны владеть учащиеся к моменту изучения темы «Первообразная и интеграл», какие знания, умения формируются в процессе изучения темы?

Ответ на указанный вопрос должен определяться программой по математике для средней школы, целями изучения темы, а также обязательными результатами, которые должны быть достигнуты всеми без исключения учащимися в результате работы с учебным материалом (обязательные результаты обучения учащихся по теме «Первообразная и интеграл» приведены в журнале «Математика в школе».- 1985.- №4.- С. 28).

8. Выводы:

- понятие интеграла в курсе математики средней школы вводится на основе понятия предела соответствующих интегральных сумм;

- вычисление интегралов связано с использованием приращения соответствующих первообразных (формула Ньютона-Лейбница);

- площадь криволинейной трапеции является основным звеном, с помощью которого устанавливается связь между понятием интеграла функции и приращением соответствующей первообразной. Установление этой связи приводит и к способу (одному из возможных) вычисления интеграла;

- большое внимание в процессе изучения материала темы нужно уделить работе, связанной с разъяснением учащимся геометрического смысла интеграла и показом возможностей его использования для решения ряда конкретных задач.

Задания для самостоятельной работы

1. Ориентируясь на методические указания, приведенные в настоящих материалах, разработайте методику введения понятия «первообразная» и основного свойства первообразной.

Литература: [5], [9], [13], [70], [38].

2. Продумайте методику использования задач при введении понятия «интеграл» и установлении его свойств, связей с понятием «первообразная».

Литература: [61], [70], [74], [38].

3. Проанализируйте материалы контрольной работы по теме «Первообразная и интеграл» (см.: Математика в шк.- 1986.-4.- С. 20; контрольная работа № 3) и соотнесите предложенные задания с заданиями соответствующего раздела «Обязательные результаты обучения» (см.: Математика в шк.- 1985.- № 4.- С. 28).

4. Познакомьтесь с примерным поурочным планированием материала темы «Первообразная и интеграл» (см.: Математика в шк.- 1986.- № 3.- С. 47).

II. Поурочное планирование изучения материала темы «Первообразная и интеграл»

Цель. Установить круг задач, в процессе решения которых находят применение понятие интеграла и способ вычисления интеграла конкретной функции; с учетом целей и задач темы, а также конкретного содержания учебника выполнить поурочное разбиение учебного материала.

План реализации второй части работы

1. Виды задач, для решения которых используется метод интегрального исчисления.

2. Составление подробного плана изучения материала темы «Первообразная и интеграл».

Основное содержание

1. Программа по математике не ставит цели научить школьников применять метод интегрального исчисления при решении задач; предполагается лишь знакомство с использованием метода, иллюстрация применения интеграла к решению задач.

Какие виды задач, в основе решения которых лежит метод интегрального исчисления, можно выделить? Какие из этих видов рассматриваются в процессе изучения темы?

для ответа на поставленные вопросы целесообразно обратиться к следующей литературе: [5], [9], [1], [13], [22], [64], [68], [70], [83].

Основной вид задач, при решении которых мы имеем возможность реализовать цели изучения темы, и особенно воспитательную и развивающую, - это задачи на нахождение площадей плоских фигур.

Следует продумать:

- каким образом реализуются в данном случае основные этапы решения прикладных задач средствами математики;

- как, имея в виду рассматриваемый вид задач, показать учащимся универсальность математических методов.

2. Составляя тематический план изучения вопросов, связанных с понятиями «первообразная», «интеграл», нужно особое внимание уделить:

- формулированию цели, конкретных задач каждого урока;

- обоснованию отбора учебного материала на урок (как теоретического, так и набора задач);

- четкому указанию тех конкретных связей, которые должны установиться между элементами нового и уже изученного материала (внутрипредметные связи), между элементами материала данного предмета и других предметов, например физики (межпредметные связи).

Задание для самостоятельной работы

Закончите составление плана изучения со школьниками материала темы «Первообразная и интеграл».

Литература: [5], [9], [13], [22], [64], [61], [68], [70], [74], [83], [96], [125].

Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141516 17 Следующая