Простейшие свойства внутренних сил системы

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Внешними силами материальной системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему, будем их обозначать .

Внутренними силами материальной системы называют силывзаимодействия между точками рассматриваемой системы(Рис.39), мы их будем обозначать .

Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и реакции связей

Пусть система состоит из n точек. Тогда по третьему закону Ньютона, например, для точек 1 и 2, (рис.39) внутренние силы взаимодействия этих точек равны по величине и противоположны по направлению:

Равнодействующая внутренних силсостоит из векторной суммы сил действия и противодействия, которая

Рис.39 равна нулю:

Если рассмотреть сумму моментов сил и относительно некоторой произвольной точки О, то легко видеть, что

т. к. обе силы имеют одинаковые плечи h и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы этих моментов внутренних сил:

Дифференциальные уравнения движения системы

Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил и равнодействующую силу всех внутренних сил , то для любой к -ой точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения в виде второго закона Ньютона:

Систему этих уравнений называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроектировать их на оси координат, то получим 3n скалярных дифференциальных уравнения.

Мы видели, с какими трудностями приходится сталкиваться при интегрировании дифференциального уравнения движения точки, если сила зависит от времени, положения или скорости. Здесь же мы имеем систему уравнений, и трудности неизмеримо возрастают. Поэтому особую роль в динамике системы материальных точек играют общие теоремы, позволяющие в отдельных случаях получить информацию о характере движения системы без выполнения трудоемкого интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Теоремы об изменении количества движения и

О движении центра масс

Количество движения точки и системы

Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость, т.е.

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки. Проекции количества движения точки на декартовы оси координат

Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движения отдельных точек системы, т.е.

Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точки не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки считается приложенным к самой движущейся точке, а вектор количества движения системы является свободным вектором.

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс

если масса системы не изменяется при движении.

Теорема об изменении количества движения системы

Для каждой точки системы, находящейся под действием внешних и внутренних сил, имеем:

Проведя суммирование по всем точкам системы, получим:

Используя свойства внутренних сил системы и определение количества движения системы , окончательно имеем:

Теорема об изменении количества движения системы: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

В другой форме теорема выглядит так:

Дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Теорема импульсов в конечной (интегральной) форме:

Изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время.

Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая