Способы нахождения мгновенного центра скоростей.

Мгновенный центр скоростей можно найти либо из механических условий задачи (точка касания колеса, катящегося без проскальзывания), либо по скоростям точек плоской фигуры.

Если известны скорости двух точек плоской фигуры (рис. 27), мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям этих точек.

Рис. 27

В том случае (Рис. 28), когда точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек и скорости точек параллельны, концы векторов скоростей точек лежат на одной прямой, проведенной через мгновенный центр ско-ростей, так как скорости то-чек пропорциональны расстоя- Рис. 28

ниям от этих точек до центра скоростей.

Если скорости двух точек, расположенных на общем перпендикуляре к этим скоростям, еще и равны (Рис. 29), мгновенный центр скоростей находится на бесконечности и мы имеем мгновенное поступательное движение плоской фигуры, при котором скорости всех точек фигуры одинаковы по модулю и направлению (w=0).

При этом мгновенном поступа-тельном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.

Рис. 29

Ускорения точек при плоском движении тела

Мгновенный центр ускорений

За переносное движение тела примем поступательное движение, за относительное движение – вращение тела вокруг полюса А (рис. 30).

Полюс А движется с ускорением a_A и тело вращается вокруг полюса с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Из формул для сложного движения точки имеем:

Рис. 30

Эту формулу можно представить в виде

Точка В получает ускорение a_BA вследствие вращения вокруг полюса А, компоненты этого ускорения определяются так:

отсюда

Мгновенный центр ускорений. В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости, если ω и ε не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений, мы будем ее обозначать Q.

Пусть нам известны по модулю и направлению ускорение какой-либо точки плоской фигуры (точка О), угловая скорость и угловое ускорение ε этой фигуры (рис. 31).

Рис. 31

Мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной под углом α ( tgα =ε /ω ²) к ускорению точки О.

При этом α надо отложить от ускорения a_O в направлении дуговой стрелки углового ускорения ε.

Только в точках этой прямой ускорение a_O и ускорение от вращения a_QO могут иметь противоположные направления и одинаковые по модулю значения:

Но следовательно

Мгновенный центр ускорений является единственной точкой фигуры, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. В другой момент времени мгновенный центр ускорений находится в общем случае в другой точке плоской фигуры.

Если положение мгновенного центра ускорений известно, то выбрав его за полюс, для ускорения произвольной точки А, имеем:

и ускорение a_A направлено под углом α к отрезку AQ, соединяющего точки A и Q в сторону дуговой стрелки ε (рис. 32).

Ускорения двух точек A и B показаны на рисунке, их величины равны

Рис. 32

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и при вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.

Для вычисления скоростей принимают, что фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей, для вычисления ускорений принимают, что фигура вращается вокруг мгновенного центра ускорений. В общем случае эти центры являются разными точками плоской фигуры.

Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении подобно скоростям точек можно вычислить двумя способами: по формуле , выражающей зависимость ускорений двух точек плоской фигуры (способ 1) и по формуле , используя мгновенный центр ускорений (способ 2). Часто мгновенный центр ускорений (кроме случаев, когда ω или ε равных нулю) располагается так, что трудно определить расстояние от него до рассматриваемых точек фигуры, поэтому рекомендуется использовать способ 1 через формулу, связывающую ускорения точек фигуры.

Способы нахождения мгновенного центра ускорений.

Ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений (Рис. 33), так как они состоят только из одной нормальной составляющей от вращения вокруг мгновенного центра ус

Рис. 33 корений.

Если известно a_A, то AQ = a_A/ω ².

мгновенное поступательное движение (Рис. 34). Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек.

Рис. 34

Если известно a_A, то AQ = a_A/ε.

Имеем общий случай, ранее уже обсуждавшийся. Угол α откладываем по дуговой стрелке ε от вектора ускорения (Рис. 35).

Если известно a_A, то

Рис. 35

4. Пусть в данный момент времени известны ускорения двух точек плоской фигуры A и B (Рис. 36). Приняв за полюс точку A, имеем:

(*),

где

Проецируя левую и правую части векторной формулы (*) на оси Bx и By получаем:

Рис. 36

где β и γ в принципе известные углы.

Проекцию aⁿ_BA на ось Вх берем со знаком (+), так как она всегда направлена к оси вращения (к полюсу). Проекцию a^τ_BA, берем со знаком (+) предполагая, что стрелка ε направлена против часовой стрелки.

Из уравнений проекций находим

знак ε определяется после подстановки данных в формулу.

После того, как найдены ε и ω, задача нахождения мгновенного центра ускорений сводится к случаю 3.

Вопросы для самопроверки:

1. Как задается скорость и ускорение в декартовой системе координат?

2. Какие системы координат Вы знаете?

3. Какое движение называется абсолютным, относительным, переносным?

4. Какое движение называется поступательным?

5. Какое движение называется вращательным?

6. Как определить мгновенный центр скоростей?

7. Как определить мгновенный центр ускорений?

ДИНАМИКА

Основные понятия

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

В динамике, в отличие от кинетики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорость точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела. В классической механике масса m рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц, т. е. от распределения масс в теле.

Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки.

Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая