Классификация сил. Динамика материальной точки

Сила тяжести – постоянная сила, действующая на тело, находящееся вблизи земной поверхности. P= mg,

где m – масса тела, g – ускорение свободного падения.

Сила упругости – P = cλ,

где c – коэффициент жесткости, λ – перемещение тела.

Сила трения –P = fN,

где f – коэффициент трения, N – нормальная реакция.

Сила тяготения – сила с которой притягиваются к друг к другу два материальных тела P = fm₁m₂/r²,

где f – гравитационная постоянная, m₁и m₂ – массы двух тел, r– расстояние между центрами этих тел.

Сила вязкого сопротивления – P = μ v,

где μ – коэффициент сопротивления среды, v – скорость тела.

Движение материальных точек и тел следует рассматривать относительно определённой системы отсчёта. В классической механике в основу, которой положены законы И. Ньютона, такая система называется инерционной системой отсчёта. Пространство считается трёхмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нём материальных объектов.

Законы динамики. (Законы Ньютона)

1. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на тело силы не заставят его изменить движение (причиной изменения движения является сила).

2. Ускорение пропорционально приложенной силе и направлено вдоль линии действия силы: (количественная мера действия силы).

3. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению (сила всегда имеет материальный источник, который испытывает обратное действие объекта, к которому приложена сила).

Аксиома о суперпозиции сил

При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно ИСО от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки:

Все это справедливо для небольших скоростей.

Размерностью силы в системе СИ является ньютон ([F]=н). Сила в 1н равна силе, сообщающей телу массой 1 кг ускорение, равное 1 м/с².

Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки

− равнодействующая,

Декартова система координат:

Естественная система координат:

Второе уравнение можно преобразовать:

Получаем для естественной системы координат:

Первая (прямая) задача динамики точки : зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку силу.

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

Пример. Закон движения точки x = aCoskt; y = bSinkt, массы точки m. Определить траекторию и силу, под действием которой происходит движение.

Уравнение траектории:

− эллипс с полуосями a, b

F_x= − mk²aCoskt; F_y= − mk²bSinkt или F_x= − mk²x; F_y= − mk²y;

(r − радиус− вектор точки).

Косинусы углов силы F с осями координат:

Отсюда можно заключить, что сила F имеет направление, противоположное вектору r.

Окончательно.

Основные виды прямолинейного движения точки.

Криволинейное движение

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Ох имеет вид:

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме:

t=0; x=x₀, v_x=v₀.

Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки получаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от времени, координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изменяют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.

Пример 1. Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v₀. (t=0, x=0, v_x=v₀):

используя начальные условия получаем С₁=v₀

из начальных условий определяем С₂=0 и в результате закон движения точки имеет вид:

Пример 2. Точка массы m движется из начального положения покоя под действием переменной силы F = kSinω t. Начальные условия t=0, x=0, v_x=0. (рис. 37)

Рис. 37

Из начальных условий определим

(t=0 C₂=0)

Получаем, что тело двигается равномерно с постоянной скоростью вправо и на это движение будет накладываться периодическое " модулирующее" движение. Заметим, что составляющей " дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид:

Пример 3. Точка массы m брошена вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v₀ и движется под действием силы тяготения (Рис. 38). Начальные условия: t=0, x=R₃, v=v₀;

Имеем дифференциальное уравнение:

Рис. 38

Используя подстановку получаем уравнение

Разделяем переменные и берем интегралы:

или откуда

(*)

Для определения x_max (максимальная высота подъема), положим v=0, тогда

и при,

это выполняется для v₀=11.2 км/с (вторая космическая скорость).

Полученную зависимость (*) скорости точки от высоты подъема можно использовать для определения закона движения (x=f(t)), разделив еще раз переменные и проведя интегрирование.

Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая