Моменты инерции тел простой геометрической формы

 

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения определяется выражением (15):

.

Суммирование распространяется на элементы всего твердого тела. Если разбиение тела проводить на все более и более мелкие элементы, то тогда сумма в пределе трансформируется в интеграл, и в результате чего получим:

(16)

(интегрирование ведется по всему объему твердого тела).

Можно получить еще одну формулу полезную для расчета момента инерции. Для этого воспользуемся выражением для плотности вещества: . После подстановки dm = rdV в (16) получим:

. (17)

В качестве примера применения формулы (16) найдем момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис.11). Длина стержня l, масса стержня т. Разобьем весь стержень на отрезки малой длины . Масса такого отрезка равна , а расстояние до оси вращения r = x. Момент инерции всего стержня найдем, воспользовавшись формулой (16):

Рис.12

.

 

Приведем, для справок, формулы для моментов инерции тел простейшей геометрической формы.

Момент инерции однородного диска (рис.12) относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр равен:

,

где радиус диска R, масса т.

Рис.13

Эта же формула справедлива и для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью

цилиндра.

Момент инерции тонкого обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр будет (рис.13):

.

где радиус обруча – R, масса обруча – т.

Эта же формула справедлива для тонкостенного цилиндра.

Момент инерции шара относительно оси проходящей через его центр. Радиус шара R, масса т:

.

Момент инерции тонкого диска массы m и радиуса R, (толщина диска b < < R), относительно оси совпадающей с диаметром диска:

:

,

 

Все приведенные формулы справедливы для моментов инерции относительно оси проходящей через центр масс (центр инерции) твердого тела. Момент инерции относительно произвольной оси можно найти с помощью теоремы Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела (центр масс тела) и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

.

Рис.14

В качестве примера получим с помощью этой теоремы выражение для момента инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов (рис.14). Из рисунка ясно, что а = , кроме этого момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс равен:

Поэтому по теореме Штейнера получим:

.

 

 

Главные оси инерции

Момент инерции твердого тела произвольной формы и распределения масс зависит от ориентации оси вращения. Допустим, что ось проходит через центр масс тела (центр инерции). Найдем такую ориентацию оси, для которой момент инерции максимален. Далее, как доказывается в теоретической механике, существует также ось перпендикулярная найденной, и проходящая через центр масс, для которой момент импульса твердого тела будет минимален. Для третьей оси, ортоганальной к первым двум, момент импульса в общем случае имеет величину промежуточную между максимальным и минимальным значениями. Введенные таким образом оси вращения называются главными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей не обязательно отличаются друг от друга по величине. Действительно, если однородное по плотности твердое тело обладает той или иной симметрией, то некоторые главные моменты инерции могут равняться друг другу. Так, например, однородный по плотности шар имеет три равных момента инерции относительно главных осей, каждый из которых равен: , где M, R - масса и радиус шара.

Однородный куб с массой М и длиной ребра имеет также три равных момента инерции относительно главных осей инерции . Главные оси инерции перпендикулярны граням куба и проходят через центр куба..

Тонкий однородный по плотности диск имеет максимальный по величине момент инерции относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, а также два других главных момента инерции равных друг другу.

Приведем также пример тела, когда все три момента инерции относительно главных осей инерции различны - однородный по плотности параллелепипед с отличающимися по длине ребрами.

 

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. A Выберете щетку подходящую 6.2b Пластичные индикаторы 6.3 Соберите подставку под двигатель
2. A. гематологическими показателями
3. B. малая двигательная активность (гипокинезия)
4. Cодержательные и организационные особенности построения курса «Основы технологии интеллектуальной адаптации коренных народов северных регионов»
5. D. большая нагрузка на зрительный анализатор
6. Digital Signage в обслуживании читателей библиотек
7. Gran Reserva – качественное вино, выдерживается минимум два года в дубовой бочке плюс три года в бутылке, производится в исключительные года
8. I Всероссийские соревнования по воздухоплавательному спорту
9. I. Доходы и расходы по обычным видам деятельности
10. I. НОВОСТИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ ДИРЕКЦИИ
11. I. Отвратительная нечистоплотность.
12. I. Отрицательное богословие у Платона и Аристотеля