Скалярные уравнения n-го порядка.

Приведем условия асимптотической устойчивости в среднеквадратическом линейного уравнения, коэффициенты которого возмущаются взаимно независимыми винеровскими процессами . Рассматриваемое уравнение имеет вид

(3.15)

где и – заданные постоянные, и введено обозначение

Решение уравнения (5.16) при определяется заданием в начальный момент времени значений величин Условия асимптотической устойчивости в среднеквадратическом системы (5.16) относительно возмущений начального положения формулируются следующим образом.

Теорема5. Для асимптотической устойчивости в среднеквадратическом системы (3.15) необходимо и достаточно, чтобы детерминированная система, полученная из (3.15) при была асимптотически устойчивой и чтобы был положителен определитель

Устойчивость по вероятности движения спутника

Устойчивость по тангажу симметричного спутника на круговой орбите.

Движение реального спутника Земли определяется многими факторами, среди которых лишь градиент силы тяжести можно рассматривать как детерминированный. Все же остальные (например, аэродинамические и магнитные моменты, солнечная радиация, электрическое поле Земли, метеоритный поток и др.) имеют случайные составляющие. Кроме того, моменты инерции спутника, на величину которых влияют термоупругие колебания антенн и солнечных батарей, перемещение экипажа, движение жидкости в баках, также являются случайными.

Второй метод Ляпунова может быть применен при рассмотрении вопросов устойчивости движения спутника под действием случайных возмущений. Рассмотрим плоское движение симметричного спутника по круговой орбите. Предполагается, что угол тангажа и скорость описывается системой двух уравнений Ито:

(4.1)

Здесь – стандартный винеровский процесс, постоянные и определяются параметрами движения спутника, – интенсивность случайных возмущений атмосферы. При этом – динамический коэффициент аэродинамического момента, – момент сил тяготения. Задача состоит в определении условий устойчивости по вероятности нулевого решения систем (4.1). Для этого используем теорему 1 и положим

(4.2)

где параметр будет выбран ниже.

В силу (4.1), (4.2) и формулы производящего оператора марковского процесса получаем

(4.3)

Из соотношений (4.2), (4.3) следует, что условия (3.1) выполнены, если . Исследуя зависимость допустимых значений от при фиксированном , заключаем, что область изменения окажется наибольшей при

Значит устойчивость по вероятности движения спутника по углу тангажа имеет место, если

(4.4)

Из этого условия видно, что при отсутствии возмущений ( ) движение по тангажу устойчиво, если момент сил тяжести удовлетворяет неравенству . При наличии же возмущений на основании (6.4) получим

Следовательно, учет возмущений приводит к уменьшению возможных значений моментов сил тяготения, при которых сохраняется устойчивость по тангажу движения спутника.

5.2 Устойчивость по углу рыскания спутника по круговой и экваториальной орбитах.

Рассмотрим плоские колебания симметричного спутника на круговой и экваториальной орбитах по углу рыскания, обусловленные случайными флуктуациями магнитного поля Земли. Уравнения для угла рыскания имеют вид

(4.5)

где – интенсивность случайных возмущений магнитного поля, а и – положительные постоянные, зависящие от детерминированной составляющей магнитного поля и характеристик спутника.

Исследуем устойчивость по вероятности нулевого положения равновесия системы (4.5) с помощью теоремы (3.1). Положим

Вычислим , получим

Отсюда видно, что условия (3.1) выполнены, если

(4.6)

Таким образом, колебания по углу рыскания относительно случайных возмущений магнитного поля Земли устойчивы по вероятности, если интенсивность этих возмущений удовлетворяет неравенству (4.6).

Заключение

Изучение поведения и конструирования систем управления, обладающих требуемыми в приложениях свойствами, является ключевой задачей теории управления. При этом на первый план выдвигается такое свойство, как устойчивость. Устойчивость играет важную роль. Этот термин имеет много различных значений. Под устойчивостью обычно понимают свойство системы сохраняться при малых изменениях начальных состояний, внешних воздействий, параметров системы и т.д. Конечно, при математической формализации это понятие нуждается в уточнении, причем такая формализация может быть сделана по-разному

Основное внимание в данной работе было уделено исследованию динамических систем при случайных возмущениях – стохастическим. Стохастической может быть система, для описания которой используются вероятностные понятия и методы. Устойчивость играет важную роль. Этот термин имеет много различных значений.

В данной работе был рассмотрен второй метод Ляпунова (метод функций Ляпунова), который является не только одним из основных методов анализа уже созданных, но также важным методом синтеза вновь создаваемых систем.

1 23	Поделиться: