П.2. Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

. (4)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любоерешение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и изопределения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

.

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

.

Возводим в квадрат

.

Раскрываем скобки и сокращаем на :

,

откуда получаем:

.

Используя равенство (2), получаем:

.

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда из (4) следует:

.

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом, . Аналогично, .

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

или и т.к. , то отсюда следует неравенство:

.

Отсюда, в свою очередь, следует, что

или и

, . (5)

Из равенств (5) следует, что , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.

Определение. Начало канонической для эллипса системы координатназывается центром эллипса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью . В отличие от окружности, записать в " удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым. Пусть и -- фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось -- перпендикулярно к этому отрезку

24) Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола). Определение 12. 5 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная. Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему. Теорема 12. 3 Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение ( 12.8) где ( 12.9) Доказательство. Пусть -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9). Рис. 12. 9. Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой ( 12.9 ), существует. По условию, фокусы -- , . По формуле ( 10.4 ) для случая плоскости получаем По определению гиперболы Это уравнение запишем в виде Обе части возведем в квадрат: После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству Опять обе части возведем в квадрат: Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим С учетом формулы ( 12.9 ) уравнение принимает вид Разделим обе части уравнения на и получим уравнение ( 12.8 ) Уравнение ( 12.8 ) называется каноническим уравнением гиперболы. Предложение 12. 3 Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат

координатные оси и , а начало координат -- центр симметрии гиперболы. Доказательство. Проводится аналогично доказательству предложения 12.1. Проведем построение гиперболы, заданной уравнением ( 12.8 ). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения как функцию , при условии, что , и построим график этой функции. Область определения -- интервал , , функция монотонно растет. Производная существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график -- гладкая кривая (без углов). Вторая производная во всех точках интервала отрицательна, следовательно, график -- выпуклый вверх. Проверим график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение . Тогда по правилам математического анализа Выражение под знаком предела домножим и разделим на .

Получим Итак, график функции имеет асимптоту . Из симметрии гиперболы следует, что -- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки , а именно, образует ли график и симметричная ему относительно оси часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения ( 12.8 ) через : Очевидно, что данная функция имеет производную в точке , , и в точке у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции (рис. 12.10). Рис. 12. 10.График функции Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11. Рис. 12. 11.Гипербола Определение 12. 6 Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением ( 12.8 ), с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы. Замечание 12. 3 Из равенства ( 12.9 ) следует, что , то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол. Замечание 12. 4 В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид , если взять , а оси и направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12). Рис. 12. 12.Равносторонняя гипербола Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10. Пример 12. 4 Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение , . Проводим асимптоты и строим гиперболу (рис. 12.13). Рис. 12. 13.Гипербола Из формулы ( 12.9 ) получим . Тогда фокусы -- , , . Пример 12. 5 Постройте гиперболу . Найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Преобразуем уравнение к виду Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед и противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные , , то в новых переменных получим каноническое уравнение Действительная ось этой гиперболы лежит на оси , то есть на оси исходной системы координат, асимптоты имеют уравнение , то есть уравнение в исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая -- 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рис. 12.14). Рис. 12. 14.Гипербола с уравнением Из формулы ( 12.9 ) получим , , фокусы лежат на действительной оси -- , , где координаты указаны в исходной системе координат.

Парабола

В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы. Определение 12. 7 Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы. Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 12.15). Рис. 12. 15. Теорема 12. 4 Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение ( 12.10) Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение (рис. 12.15). Пусть -- текущая точка параболы. Тогда по формуле ( 10.4 ) для плоского случая находим Расстоянием от точки до директрисы служит длина перпендикуляра , опущенного на директрису из точки . Из рисунка 12.15 очевидно, что . Тогда по определению параболы , то есть Возведем обе части последнего уравнения в квадрат: откуда После приведения подобных членов получим уравнение ( 12.10 ). Уравнение ( 12.10 ) называется каноническим уравнением параболы. Предложение 12. 4 Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью . Доказательство. Проводится так же, как и доказательство ( предложения 12.1 ). Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы. Если переобозначить переменные , , то уравнение ( 12.10 ) можно записать в виде который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16). Рис. 12. 16.Парабола Пример 12. 6 Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису. Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, , . Осью параболы служит ось , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному и находим значения . Возьмем точки , , . Учитывая симметрию относительно оси , рисуем кривую (рис. 12.17) Рис. 12. 17.Парабола, заданная уравнением Фокус лежит на оси на расстоянии от вершины, то есть имеет координаты . Директриса имеет уравнение , то есть . Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства. Предложение 12. 5 Пусть -- фокус параболы, -- произвольная точка параболы, -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам. Рис. 12. 18.Отражение светового луча от параболы Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

26) Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n - ее порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение:

Хотя иногда в литературе встречается обозначение:

Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||a_ij||, а иногда и с разъяснением: A=||a_ij||=(a_ij) (i=1, 2,..., m; j=1, 2,...n)

Числа a_ij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.

Например, матрица

это матрица порядка 2× 3, ее элементы a₁₁=1, a₁₂=x, a₁₃=3, a₂₁=-2y, ...

Итак, мы ввели определение матрицы. Рассмотрим виды матриц и дадим соответствующие к ним определения.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n× n.

В случае квадратной матрицы

вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.

Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.

Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если

то А=B, если a₁₁=b₁₁, a₁₂=b₁₂, a₂₁=b₂₁, a₂₂=b₂₂

Матрицы специального вида

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при i> j, и нижней треугольной, если при i< j

Общий вид треугольных матриц:

Заметим, что среди диагональных элементов могут быть равные нулю элементы. Матрица называется верхней трапециевидной, если выполнены следующие три условия:

1. при i> j;

2. Существует такое натуральное число r, удовлетворяющее неравенствам , что .

3. Если какой-либо диагональный элемент , то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю.

Общий вид верхних трапециевидных матриц:

при .

при .

при r=n

при r=m=n.

Отметим, что при r=m=n, верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.

27) Действия с матрицами

Сложение матриц

Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так: А+В=С.

Пример.

Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С).

Нулевая матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: А+0=А.

Вычитание матриц.

Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что

С+В=А

Из этого определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается разность матриц А и В так: С=А – В.

Пример.

3. Умножение матриц

Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго порядка.

 

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.

Правила умножения прямоугольных матриц:

Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк в матрице В.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов было во второй матрице.

 

4. Умножение матрицы на число

При умножении матрицы A на число  все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число . Например, умножим матрицу на число 2. Получим, т.е. при умножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.

Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].

Например,

Свойства транспонированных матриц

1. (AT)T = A

2. (A + B)T = AT + BT

3. (AB)T = BTAT

4. detA = detAT

28) Понятие определителя n-го порядка

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n горизонтальных и в nвертикальных рядах. С помощью этих чисел по определённым правилам вычисляют некоторое число, которое называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

(1)

Горизонтальные ряды в определителе (1) называют строками, вертикальные – столбцами, числа -элементами определителя (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых – произведение n его элементов, взятых только по одному из каждой n строк и из каждого nстолбцов квадратной таблицы чисел, причём половина (определённых) членов берётся с их знаками, а остальные – с противоположными.

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель первого порядка – это сам элемент т.е.

.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

(2)

где

- элементы определителя, а

и

- его члены.

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся член, являющийся произведением элементов главной диагонали, а с противоположным – член, представляющий собой произведение элементов противоположной диагонали.

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Решение. По формуле (2) находим:

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

(3)

Запо мнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают члены определителя (рис. 1).

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся члены, которые являются произведением элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – члены, являющиеся произведениями элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим

Вычисление определителей четвертого и последующих порядков можно свести к вычислению определителей второго и третьего порядков. Это можно сделать с помощью свойств определителей. К рассмотрению их мы и переходим.

Свойства определителя n-го порядка

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

 

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

 

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.

 

Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно pстрок и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Определитель

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из
можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента