Собственные числа и собственные векторы

Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования .

Вместо слов " собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В примере 19.2 при не кратном преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

Пример 19.7 Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор , симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор , он соответствует собственному числу , и вектор , который соответствует собственному числу . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу .

47) У матрицы A , размерностью (N× N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

det( A − λ I ) = 0,

являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2× 2 характеристическое уравнение имеет вид

Например,

Рис. 21 Собственные значения

Набор собственных значений λ ₁,..., λ _N матрицы A называется спектром A.

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

det( A ) = λ ₁×...× λ _N,

Sp( A ) = λ ₁+...+λ _N.

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная ( A ^t = A ), то ее собственные значения вещественны.

48) Опера́ тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение в математике.

Привычная функция отображает одно число (аргумент) на другое (значение функции). Функция нескольких переменных отображает вектор (ряд чисел) на число. В случае отображения вектора на вектор, отображение чаще называют оператором. А поскольку функции относятся к векторам (аргумент функции служит индексом, при этом количество элементов может достигать континуума для недискретных функций), операторы часто применяются к функциям. Таким образом оператор можно считать обобщением функции: если функция оперирует числами, возвращая число, то оператор принимает и возвращает ряд чисел, то есть оперирует функциями.

Наиболее часто встречающиеся операторы:

§ Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).

§ Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).

§ Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Основная терминология

Пусть оператор A действует из множества X в множество Y.

§ Оператор может быть не всюду определен на X; тогда говорят о его области определения .

§ Для результат применения оператора A к x обозначают A(x) или Ax.

§ Если X и Y — векторные пространства, то в множестве всех операторов из X в Y можно выделить класс линейных операторов.

§ Если X и Y — векторные топологические пространства, то в множестве операторов из X в Y естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейныхограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (называемые также вполне непрерывными).

49) Ко́ мпле́ ксные^[1] чи́ сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами {x, y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Некоторые планиметрические утверждения (например, теорема Клиффорда), допускают только доказательство при помощи счёта в комплексных координатах.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 Следующая