Однородные системы линейных уравнений.

Если свободные члены системы (1) равны нулю, то система называется однородной.

Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Для решения однородных систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса.

Пример. Решить систему:

Решение:

Ранг матрицы следовательно, система имеет нетривиальные решения:

Положим для свободных переменных

Общее решение:

40) Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

, для любых (коммутативность сложения);

, для любых (ассоциативность сложения);

существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

(ассоциативность умножения на скаляр);

(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

для любых и .

для любого .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

;

для всякого вектора , вектор также принадлежал K, при любом ;

для всяких векторов , вектор также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов , вектор также принадлежал K для любых .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ }, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

[править]Свойства подпространств

Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki:

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Базис. Размерность

Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́ меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

41) Скалярное произведение n-мерных векторов

Стандартным скалярным произведением векторов и в многомерном пространстве называется число

Скалярным квадратом n-мерного вектора называется скалярное произведение вектора на себя:

Скалярное произведение (2.26) обладает свойствами 1-4 (перечисленными в разделе Свойства скалярного произведения), из которых следует неравенство Коши – Буняковского (см. пункт 3 замечаний 1.9):
справедливое для любых векторов и .

Используя скалярное произведение, можно определить основные метрические понятия: длину вектора и величину угла между векторами (см.геометрические свойства скалярного произведения).

Длиной n-мерного вектора называется квадратный корень из скалярного квадрата:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Расстояние между точками в многомерном пространстве и находится как длина вектора :
где и — радиус-векторы точек и соответственно (см. Многомерное координатное пространство).

Величиной угла между ненулевыми n-мерными векторами и называется число :

n-мерные векторы называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Система n-мерных векторов называется ортогональной, если все векторы системы попарно ортогональны.

Система n-мерных векторов называется ортонормированной, если все векторы системы попарно ортогональны и их длины равны единице.

Покажем, например, что стандартный базис (2.23) — ортонормированный. Действительно, длина каждого вектора стандартного базиса равна единице, например,

а угол между разными векторами стандартного базиса равен , например, угол между векторами и :

то есть .

Поэтому стандартную систему координат называют прямоугольной.

Буняковского неравенство

одно из важнейших неравенств математического анализа, утверждающее, что

установлено В. Я. Буняковским (См. Буняковский). Это неравенство аналогично элементарному алгебраическому Коши неравенству (См. Коши неравенство):

и может быть получено из последнего посредством перехода к пределу. Нередко в математической литературе Б. н. ошибочно называется неравенством Шварца — по имени Г. А. Шварца. Однако В. Я. Буняковский опубликовал свою работу о неравенствах ещё в 1859, тогда как в работах Шварца то же неравенство появляется не ранее 1884 (без ссылок на Буняковского).

Найдите косинус угла между n – мерными арифметическими векторами:

= (2, –1, 3, –1, 4) и = (3, –2, 1, –3, 0), n = 5.