Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).

1)Пусть . Тогда уравнение можно записать в виде: . Обозначим .

Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом);

Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат);

Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

Если , , то (уравнение оси Ох).

3) Пусть , . Тогда уравнение примет вид . Обозначим .

Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

Если , то (уравнение оси Оу).

Т.о., при любых значениях коэффициентов , (не равных одновременно нулю) и уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.

- общее уравнение прямой.

13) Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется уголповорота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

рис.1.

Из определения следует, что угол наклона прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

Пусть

(1)

– общее уравнение прямой L, где – нормальный вектор прямой L и . Тогда и (см. рис.1). Выразим у изуравнения (1)

, .

Уравнение прямой L принимает вид:

Определение. Уравнение прямой вида

(2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

. (3)

Доказательство. 1) Если прямая , то и . С другой стороны, ее нормальный вектор и .

Тогда и, следовательно, , ч.т.д.

2) Пусть , тогда , и . Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда

, .

Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F, а в точке оси Ох с координатой проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.

рис.2.

Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.

Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка и , откуда и следует равенство , ч.т.д.

Теорема доказана.

Заметим, что приведенное доказательство принадлежит автору этих лекций. Достоинством этого доказательства является то, что оно не зависит ни от величины угла наклона , ни от величины коэффициента .

В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).

Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.

Преобразуем уравнение прямой ax + by + c=0 к виду

Введем обозначения

Тогда получим y = kx + l.

Возьмем две точки на прямой A (x1; y1) и B (x2; y2), такие что x1 < x2.
Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Вычитая эти равенства почленно, получим

Проведя прямую через точку A параллельно оси x и прямую через точку B параллельную оси y, мы получим треугольник ABC. Замечаем, что

Если прямая расположена следующим образом:

То

Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x.
Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение пучка прямых

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром в S.

Если и - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение

, (1)

где , - какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа , всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).

Если , то, деля обе части уравнения (1) на и полагая , получим

. (2)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует , то есть кроме прямой

15)Угол между прямыми

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда

(2.38)

Если то

Если , то или .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

Если прямые и параллельны, то угол и , откуда из формулы угла между двумя прямыми . И наоборот, если , то по этой же формуле и .

Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.

- условие параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то , при этом или , откуда или .

Справедливо так же и обратное утверждение.

Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

- условие перпендикулярности двух прямых.

Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и , то учитывая их угловые коэффициенты и , условие параллельности прямых имеет вид: .

Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых в этом случае примет вид или ,

Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.

16) Общее уравнение плоскости

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz.

17) Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .

Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как

то в обоих случаях .

По определению скалярного произведения . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где -- любое число.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям  1 соотношением:  =  1 или  = 1800 -  1, т.е.

cos =  cos 1.

Определим угол  1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:   .Это условие выполняется, если: .

Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1:

l2:

Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  =  1 или  = 1800 -  1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

18). Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n ={A, B, C} и точка М₀=(x₀, y₀, z₀).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М₀, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Утверждение 1: М Π  М₀М n.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} n  A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. (*)

(См. свойства скалярного произведения)

· Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax₀-By₀-Cz₀.

Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.

Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n={3, 1, 1} и проходящей через точку М(2, -1, 1).

Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2, 1, -2), L(0, 0, -1), M(1, 8, 1).

§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор a ={p, q, r} и точка М₀=(x₀, y₀, z₀).

Построим прямую l, проходящую через т. М₀, параллельную вектору a (этот вектор называютнаправляющим вектором прямой).

Утверждение 2: М l  М₀М || a.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} || a  t R, т.ч. М₀М=t ·a =>

· Параметрические уравнения прямой в пространстве:

(**)

Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.

В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t₀=0 он находится в точке М₀, в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).

Теперь несколько преобразуем формулы (**).

Выразим из каждой строчки параметр t:

· Канонические уравнения прямой в пространстве:

Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.

Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.

Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.

Пример 3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку.

Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей.

Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

§3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве

Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М₁=(x₁, y₁, z₁).

Утверждение 3: расстояние от точки М₁ до плоскости Π вычисляется по формуле:

Пример 6. Найти расстояние от точки до плоскости.

§4. Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении

Пусть в декартовой системе координат М₁=(x₁, y₁, z₁), М₂=(x₂, y₂, z₂).

Утверждение 4: Координаты т. М, т.ч. М₁М=λ ∙ ММ₂, находятся по следующим формулам:

.

19) Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂. (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1. (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0. (12)

20) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю – условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. По условию , , тогда .

Из уравнения плоскости имеем, что нормальный вектор . Следовательно =  .

21 ) Угол между прямой и плоскостью

Дана плоскость и точка А вне этой плоскости.

Проекцией точки А на плоскость называется основание Q перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Пусть а — произвольная прямая, пересекающая плоскость в точке О, причем прямая а не перпендикулярна плоскости (рис. 40).

Прямая а и перпендикуляр AQ (А? а) определяют плоскость , _|_ .

Прямая a1, проходящая через точки О и Q, называется проекцией а на плоскость .

Углом между прямой а и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой а и ее проекцией a1 на плоскость (рис. 40).

Если прямая а перпендикулярна плоскости , то ее проекцией на плоскость представляет собой точку О, а угол между а и считается прямым (равным 90°).

Если прямая а параллельна плоскости , то угол между ними принимают равным нулю.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Примеры.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -3; 4) параллельно прямым и .

Так как M1 α, то уравнение плоскости будем искать в виде

.

Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

Отсюда

Итак, или .

22)

Определение окружности, данное в раньше, легко переводится на координатный язык. Пусть точка Q -- центр окружности (привычной буквой O мы обозначили начало координат) имеет координаты (a; b), R - радиус окружности, M(x; y) - некоторая точка на окружности. По определению окружности QM = R. Теперь остается выразить MQ по известной формуле через координаты точек M и Q и возвести равенство в квадрат. В результате имеем Получившееся уравнение и является уравнением окружности с центром в точке Q(a; b) и радиусом R. К оординаты любой точки M(x; y) окружности удовлетворят тому уравнению, а любая точка M(x; y), координаты которой удовлетворят тому уравнению, лежит на окружности.

При решении геометрических задач координатным методом в большинстве случаев не ограничиваются первым этапом - переводом на алгебраический язык и решением алгебраической задачи. Мы должны также суметь дать геометрическое толкование полученному алгебраическому результату, в частности, увидеть в получившемся соотношении уравнение окружности и в том случае, когда это уравнение записано в нестандартном виде.

Следует запомнить, что уравнение

x² + y² + ax + by + c = 0

задает либо окружность, либо точку, либо пустое множество. Чтобы ответить на вопрос, какой именно случай имеет место для данного конкретного уравнения, надо выделить полные квадраты по x и y. С этим приемом вы уже встречались на уроках алгебры при изучении квадратного трехчлена. например, уравнение x² + y² - 4x + 2y = 0 можно преобразовать так:

(x² - 4x + 4) + ( y² + 2y + 1) - 5 = 0, (x - 2)² + (y + 1)² = 5.

Таким образом, рассматриваемое уравнение задает окружность с центром в точке Q(2; -1) и радиусом .

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

2. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности

1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Следующая