|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Система линейных уравнений, ее решение, различные формы записи системы линейных уравнений, определение однородной,неоднородной,совместной,несовместной,определенной и неопределенной систем.
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n: а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера; б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных. Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид: a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1, r+1 xr+1 -... - a1nxn, a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2, r+1 xr+1 -... - a2nxn, .............................. ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar, r+1 xr+1 -... - arnxn. Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений. Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид: a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5) .................. am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r. Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число , что будет выполняться равенство AX = X. Число называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n. В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы. Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = X в виде (A - E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме: (a11 - )x1 + a12x2 +... + a1nxn =0, a21x1 + (a22 - )x2 +... + a2nxn = 0, ........................ (5.6) an1x1 + an2x2 +... + (ann- )xn = 0. Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения и решать обычным образом. Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна. x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1, 3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4, x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0. Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду: Очевидно, что r(A) = r( A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду: x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1, - 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1. Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде: x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1, - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1, откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы. Векторная форма записи Система уравнений может быть записана в векторном виде: A1x1 + A2x2 +... + Anxn =B
Пример 1. Записать в векторном виде.
Матричная форма записи В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом: AX=B
Пример2: Записать в матричном виде систему из предыдущего примера
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 899; Нарушение авторского права страницы
.
называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни -характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.
