Однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — иb₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе —неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решение систем линейных уравнений

Решение матричных уравнений ~ Метод Гаусса

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2. итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Решение матричных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:

(13)

Рисунок 8.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b,

(14)

где:

(15)

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A не равен 0 то система (13), или эквивалентное ей матричное уравнение (14), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная матрица А^-1. Умножая обе части уравнения (14) на матрицу А^-1получим:

(16)

Формула (16) дает решение уравнения (14) и оно единственно.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.

lsolve(А, b)

Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

Метод Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему (13) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

решение которой находят по рекуррентным формулам:

(17)

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы (13).

В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

На Рисунке 9 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

rref(A)

Возвращается ступенчатая форма матрицы А.

augment(A, В)

Возвращается массив, сформированный расположением A и В бок о бок. Массивы A и В должны иметь одинаковое число строк.

submatrix(A, ir, jr, ic, jc)

Возвращается субматрица, состоящая из всех элементов с ir по jr и столбцах с ic по jc. Удостоверьтесь, что ir jr и

ic jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен.

Рисунок 9.

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1, b2,..., bn и x1, x2,..., xn, либо набор c1, c2,..., cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы дляопределителя Грама и Леммы Накаямы.

35) Теорема Кронекера-Капелли

Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы Доказательство необходимости. Пусть система (1.13) совместна, то есть существуют такие числа х₁=α ₁, х₂=α ₂, …, х_n=α _n, что (1.15) Вычтем из последнего столбца расширенной матрицы ее первый столбец, умноженный на α ₁, второй – на α ₂, …, n-ый – умноженный на α _n, то есть из последнего столбца матрицы (1.14) следует вычесть левые части равенств (1.15). Тогда получим матрицу ранг которой в результате элементарных преобразований не изменится и . Но очевидно, и, значит, Доказательство достаточности. Пусть и пусть для определенности не равный нулю минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы: Это означает, что остальные строки матрицы могут быть получены как линейные комбинации первых r строк, то есть m-r строк матрицы можно представить в виде сумм первых r строк, умноженных на некоторые числа. Но тогда первые r уравнений системы (1.13) самостоятельны, а остальные являются их следствиями, то есть решение системы первых r уравнений автоматически является решением остальных уравнений. Возможны два случая. 1. r=n. Тогда система, состоящая из первых r уравнений, имеет одинаковое число уравнений и неизвестных и совместна, причем решение ее единственно. 2. r< n. Возьмем первые r уравнений системы и оставим в левых частях этих уравнений первые r неизвестных, а остальные – перенесем вправо: (1.16) «Свободным» неизвестным x_r₊₁, x_r₊₂, …, x_n можно придать какие угодно значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные x₁, x₂, …, x_r. Система (1.13) и в этом случае совместная, но неопределенная. Замечание. Отличный от нуля минор порядка r, где r< n, будем называть базисным минором. Неизвестные х₁, х₂, …, х_r так же называют базисными, остальные – свободными. Систему (1.16) называют укороченной. Если свободные неизвестные обозначить х_r₊₁=c₁, х_r₊₂=c₂, …, х_n=c_n_-_r, то базисные неизвестные будут от них зависеть, то есть решение системы m уравнений с n неизвестными будет иметь вид X = (x₁(c₁, …, c_n_-_r), x₂(c₁, …, c_n_-_r), …, x_r(c₁, …, c_n_-_r), c₁, c₂, …, c_n_-_r)^T, где значок Т означает транспонирование. Такое решение системы называется общим.

36)ус-е определенности, неопределенности
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

37)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных ^[3].

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть для любых i > r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):

,
где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

[править]Условие совместности

Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия: § Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. § Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

§ На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

§ На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует порядка O(n³) действий.

Этот метод опирается на:

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

38) Теорема Кронекера-Капелли.
Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12 13 Следующая