Анализ временных рядов и прогнозирование

Анализ временных рядов и прогнозирование

Рекомендовано

Дальневосточным региональным учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика» вузов региона.

Хабаровск 2013

ББК У 051

Х 12

Анализ временных рядов и прогнозирование: практикум для бакалаврантов, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 «Экономика» / сост. И. В. Шокина. − Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2012. − 96 с.

Рецензенты: В. В. Кузьминова зам руководителя Хабаровскстата;

А. В. Пивень, кандидат экономических наук,

доцент кафедры менеджмента, финансов и права

ДВГГУ

Практикум по курсу «Анализ временных рядов и прогнозирование» предназначен для бакалаврантов, получающих образование по направлению «Экономика». Практикум содержит обзор понятий и методов анализа временных рядов и прогнозирования, а также типовые примеры с решениями и задачи по изучаемому материалу. В приложении даны математико-статистические таблицы.

Практикум предназначен для бакалаврантов по направлению подготовки 080100.62 «Экономика», а также для практических работников.

Введение

Развитие страны выдвигает на первый план задачу анализа и перспектив развития субъектов рыночных отношений на различных иерархических уровнях управления с целью выбора оптимальных управленческих решений, направленных на повышение эффективности и деловой активности их функционирования.

Учебное пособие " Анализ временных рядов и прогнозирование" включает в себя комплексную методологию моделирования и прогнозирования динамической информации, представленной временными рядами социально-экономических явлений и процессов.

Общественные явления находятся не только во взаимной связи, но и в непрерывном движении, изменении, развитии − именно это обусловливает необходимость прогнозирования.

Применение рассмотренной в учебном пособии методологии анализа и прогнозирования на основе временных рядов имеет достаточно широкое прикладное значение и может использоваться при решении конкретных задач исследования реальных социально-экономических явлений и процессов как моделирование и прогнозирование.

Конечной целью создания данного учебного пособия является формирование у специалистов глубоких теоретических знаний методологии анализа, моделирования и прогнозирования социально-экономических явлений и процессов, а также практических навыков по экономико-статистическому анализу состояния и моделирования конкретных социально-экономических явлений и процессов на основе построения адекватных и в достаточной степени аппроксимирующих реальные явления и процессы статистических моделей, на основе которых возможна выработка конкретных предложений, рекомендаций и путей их прикладного использования на макро- и микроуровнях.

Основы применения экономико-статистического моделирования

Моделирование динамики

Временной ряд − это последовательность значений признака во времени, в котором на каждое последующее значение имеет влияние прошлое состояние изучаемого явления.

Во временном ряду тип связи можно определить исходя из отклонений эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда. Компоненты временного ряда различно воздействуют на величину уровней ряда:

− если факторы, образующие компоненты временного ряда имеют мультипликативную связь, то значения уровней являются произведением этих компонентов:

;

− если факторы связаны аддитивно, то значения уровней временных рядов являются суммой компонентов:

;

− если факторы временного ряда выражены комбинированно, то значения уровней являются или произведением, или суммой компонентов:

где − уровни временного ряда;

− трендовая составляющая;

− сезонная компонента;

− циклическая компонента;

− случайная компонента.

Выявление основной тенденции развития - это один из методов анализа и обобщения временных рядов. Поэтому следует различать понятия:

− основная тенденция;

− тренд;

− закон развития явления.

Тренд − это некоторая аналитическая функция, которая описывает общую тенденцию развития явления на базе лишь одного фактора – фактора времени (t). Тренд не полностью воспроизводит характер тенденции развития и не может рассматриваться как закон развития явления.

Закон развития явления — выражает сущность, природу явления, не поддающуюся описанием тренда.

Временные ряды, в которых можно установить тенденцию и случайный компонент, можно выразить уравнением вида

где − некоторая функция времени, описывающая тенденцию временного ряда, называется трендом;

− случайная величина ( случайный компонент ).

Функция определяет общую тенденцию развития изучаемого явления. Для построения модели и прогноза социально-экономических явлений необходимо осуществить проверку гипотезы о наличии тенденции в исходном временном ряду.

Моделирование тенденции

Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции. Для этой цели наиболее эффективны такие методы как метод Фостера − Стюарта, критерий серий, кумулятивный Т-критерий и фазочастотный критерий знаков разностей отклонений Валлиса и Мура.

Основные подходы к выявлению тенденции основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда.

Наиболее часто в практике анализа временных рядов используются критерии проверки " наличия-отсутствия" тренда: метод Фостера – Стюарта и критерий серий, основанный на медиане выборки.

Гипотеза о наличии тенденции процесса может быть проверена с помощью метода Фостера − Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующих этапов:

1. Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик и :

Таким образом, , если больше всех предшествующих уровней, , если меньше всех предшествующих уровней.

2. Вычисляется для всех .

Величина может принимать значения 0; 1; -1.

3. Рассчитывается характеристика .

4. С помощью -критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд). Для этого определяется

где − средняя квадратическая ошибка величины :

Значения табулированы (таблица 1).

Таблица 1 − Значения стандартных ошибок для для n от 10 до 100


1, 964	2, 509	2, 816
2, 002	2, 561	2, 837
2, 039	2, 606	2, 857
2, 077	2, 645	2, 876
2, 115	2, 681	2, 894
2, 153	2, 713
2, 279	2, 742
2, 373	2, 769
2, 447	2, 793

Расчётное значение сравнивается с критическим значением , взятым из таблицы -распределения Стьюдента. Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Например: Изменение числа родившихся в Хабаровском крае представлено в таблице 2:

Таблица 2 − Число родившихся в Хабаровском крае, чел.

Год	Число родившихся, чел.	Год	Число родившихся, чел.
	11 979		15 410
	12 400		15 558
	13 615		16 303
	14 453		17 067
	15 392		17 573
	16 049		17 407

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся с помощью метода Фостера – Стюарта. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Решение

Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта представлены в таблице 3.

Таблица 3 − Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта


11 979	-	-	-	15 410
12 400				15 558
13 615				16 303
14 453				17 067
15 392				17 573
16 049				17 407

1. Если уровень больше всех предшествующих уровней, то в графе ставим 1, если меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе .

2. Определяем для .

3. .

4. Значение для берём из таблицы 1.

Значение берём из таблицы - распределения Стьюдента:

, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. С вероятностью 0, 95 тренд во временном ряду имеет место быть.

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется по следующему алгоритму:

1. Из исходного ряда длиной образуется ранжированный (вариационный) ряд : , где − наименьшее значение ряда .

2. Определяется медиана этого вариационного ряда . В случае нечётного значения , в противном случае

3. Образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:

Если значение равно медиане, то это значение пропускается.

4. Подсчитывается − число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией. Определяется − протяжённость самой длинной серии.

5. Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа A − [A] − это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Например:

Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся (таблица 2) с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. Вспомогательные вычисления представлены в таблице 4.

Таблица 4 − Вспомогательные вычисления для критерия серии


11 979	11 979	-	15 410	15 558	-
12 400	12 400	-	15 558	16 049	+
13 615	13 615	-	16 303	16 303	+
14 453	14 453	-	17 067	17 067	+
15 392	15 392	-	17 573	17 573	+
16 049	15 410	+	17 407	17 407	+

1. От исходного ряда переходим к ранжированному , расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2. Так как (чётное), следовательно, медиана

3. Значение каждого уровня исходного ряда сравнивается со значением медианы. Если , то принимает значение «+», если меньше, то «− ». Если значение равно медиане, то это значение пропускается

4. − число серий;

− протяжённость самой большой серии. Делаем проверку:

Оба неравенства выполняются, следовательно, с вероятностью 0, 95 имеется тренд во временном ряду, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера − Стюарта.

Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и её математического выражения — тренда. Выдвигается основная гипотеза ( ) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчётное значение критерия определяется как отношение накопленной суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от их среднего значения ( ) и самих отклонений по формуле

где − накопленный итог отклонений эмпирических значений от среднего уровня исходного временного ряда;

− общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле: .

Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчёта значений критерия можно использовать нормированное отклонение:

Расчётные значения кумулятивного Т-критерия и сравниваются с табличным . Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. Следовательно, в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если , признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Например: Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае (таблица 5) кумулятивного T-критерия.

Решение

Таблица 5 − Вспомогательные вычисления по методу кумулятивному Т-критерию

Годы	Число действующих строительных организаций,
	1 845	654, 5	428 370, 3	654, 5	428 370, 3
	1 740	549, 5	301 950, 3	1 204, 0	1 449 616, 0
	1 543	352, 5	124 256, 2	1 556, 5	2 422 692, 0
	1 573	382, 5	146 306, 3	1 939, 0	3 759 721, 0
	1 097	-93, 5	8 742, 2	1 845, 5	3 405 870, 0
		-237, 5	56 406, 3	1 608, 0	2 585 664, 0
		-247, 5	61 256, 2	1 360, 5	1 850 960, 0
		-207, 5	43 056, 3	1 153, 0	1 329 409, 0
		-267, 5	71 556, 2	885, 5	784 110, 3
		-313, 5	98 282, 2	572, 0	327 184, 0
		-296, 5	87 912, 2	275, 5	75 900, 3
		-275, 5	75 900, 3
Итого	14 286	-	1 503 995, 0	-	18 419 498, 0

1. Рассчитываем среднюю величину и дисперсию числа действующих строительных организаций:

2. Определяем расчётное значение критерия:

3. Рассчитываем значения критерия:

гипотеза об отсутствии тренда отвергается, следовательно в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае существует тенденция, описываемая трендом.

Фазочастотный критерий знаков разностей Валлиса и Мура также позволяет определить наличие основной тенденции в целом во временном ряду и относится к группе непараметрических методов оценивания тенденции.

Выдвигается основная гипотеза ( ) о том, что знаки разностей между образуют случайную последовательность. При этом формируется понятие фазы как последовательности одинаковых знаков разностей.

Если знаки при определении числа фаз (без 1-й и последней) образуют случайную последовательность, то расчётное значение критерия определяется по формуле

где − фазочастотный критерий разностей;

− число уровней ряда, которое распределено нормально;

− число фаз.

Если расчётное значение ( ) критерия превысит табличное при заданном уровне значимости , то гипотеза о том, что знаки разностей между последовательными уровнями временного ряда образуют случайную последовательность, отвергается. Следовательно, уровни исходного временного ряда не образуют случайную последовательность, а имеют определённую закономерность в их изменении, а следовательно, в ряду существует тенденция.

При больших выборках ( ) поправка на непрерывность может быть опущена и формула расчёта будет следующая:

Если , следовательно, данная последовательность случайна.

Например: Изменение численности экономически активного населения в Хабаровском крае представлено в таблице 6:

Таблица 6 − Численность экономически активного населения в Хабаровском крае, тыс.чел.

Год	Численность экономически активного населения, тыс.чел.,	Знаки отклонений	Нумерация фаз
	752, 9
	765, 2	+
	738, 0	-
	738, 5	+
	752, 2	+
	757, 9	+
	760, 6	+
	774, 4	+
	756, 0	-
	793, 7	+
	771, 3	-
	776, 3	+

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении численности экономически активного населения с помощью метода Фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Решение

1. Находим знаки отклонений и проставляем нумерацию фаз ( ).

2. Рассчитаем :

, то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, численность экономически активного населения не образуют случайную последовательность, а имеют определённую закономерность в их изменении, а следовательно, в ряду существует тенденция.

Решение

1. Рассчитаем средний темп роста

2. Определим прогноз по формуле

;

Задания

Задача 1. Представлены данные о числе больничных учреждений в Хабаровском крае.

Год	Число больничных учреждений	Год	Число больничных учреждений

Требуется проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении числа больничных учреждений в Хабаровском крае с помощью метода Фостера − Стьюарта. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Задача 2. По имеющимся даннымо числе зарегистрированных преступлений в Хабаровском крае определить наличие основной тенденции с помощью критерия серий, с уровнем значимости

Год	Число зарегистрированных преступлений	Год	Число зарегистрированных преступлений
	47 560		52 182
	45 633		64 313
	47 500		60 593
	42 852		55 275
	44 379		44 023
	43 489		32 321

Задача 3. Представлены данные об экспорте внешней торговли и международных услуг в Хабаровском крае.

Год	Экспорт внешней торговли и между-народных услуг, млн долл. США	Год	Экспорт внешней торговли и между-народных услуг, млн долл. США
	599, 7		3 030, 8
	1 292, 7		3 677, 3
	2 055, 7		2 016, 6
	1 427, 6		2 109, 7
	1 710, 5		1 105, 9
	1 985, 1		1 420, 0

Определите наличие основной тенденции развития в исследуемом ряду на основе кумулятивного Т-критерия. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Задача 4. По имеющимся даннымо перевезённых грузов автомобильным транспортом в Хабаровском крае определить наличие основной тенденции с помощью метода фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Год	Перевезено грузов автомобильным транспортом тыс. т	Год	Перевезено грузов автомобильным транспортом тыс. т
	3 242		3 098
	6 688		4 388
	6 133		3 297
	6 741		2 958
	5 588		2 181
	4 229		2 536

Задача 5. По имеющимся данным о потреблении яйца и яйцепродуктов в Хабаровском крае построить график и рассчитать прогноз на 2011 − 2013 гг. на основе среднего абсолютного прироста.

Год	Потребление яйца и яйцепродуктов в расчёте на душу населения, шт.	Год	Потребление яйца и яйцепродуктов в расчёте на душу населения, шт.

Задача 6. По данным осреднегодовой численности занятых в экономикепостройте график и рассчитайте прогноз на 2011 − 2013 гг. методом среднего темпа роста.

Год	Среднегодовая численность заня-тых в экономике, тыс.чел.	Год	Среднегодовая численность заня-тых в экономике, тыс.чел.
	649, 8		721, 3
	674, 8		726, 7
	680, 6		734, 5
	696, 4		733, 0
	710, 2		719, 8
	717, 3		729, 4

Контрольные вопросы и задания к разделу I

1. Охарактеризуйте тип связи, исходя из входящих в неё компонентов временного ряда.

2. Сформулируйте понятие «тренд» и «тенденция». Покажите различие этих категорий.

3. Перечислите методы выявления наличия тенденции в динамическом ряду.

4. Сформулируйте сущность метода Фостера − Стюарта.

5. Назовите основные этапы реализации метода кумулятивного Т-критерия.

6. В чём заключается сущность метода критерия серий?

7. Сформулируйте сущность метода фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура.

8. Перечислите основные показатели динамики экономических явлений.

9. В чём сущность прогнозирования на основе среднего абсолютного прироста и среднегодового темпа прироста?

Сглаживание временных рядов

Решение

Так как период сглаживания трудно обосновать, расчёты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 2000 г.:

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 2001 г. скользящая средняя составит:

для 2002 г. , и т.д.

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечётном периоде скольжения и на уровней при чётном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трёхчленной средней и на четыре – для пятичленной.

При расчёте по чётным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Для 2001 г. ;

2002 г. , и т.д.

Определяем разность между эмпирическими и выравненными уровнями и находим сумму отклонений .

Как видно из расчётной таблицы, трёхчленная скользящая средняя показывает выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трёхчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трёхчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных ( ) от сглаженных ( ) ( =165 682, 0). Иными словами, трёхчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда.

Решение

Для рассматриваемого примера трёхчленная взвешенная скользящая средняя за 2000 г. будет равной:

;

для 2001 г. соответственно получим:

При пятичленной взвешенной скользящей средней для 2001 и 2002 гг. получим:

;

Аналогично рассчитываются и для других лет взвешенные скользящие средние, результаты которых приведены в таблице 11.

Таблица 11 − Грузооборот внутреннего водного транспорта, млн т-км

Год	Грузооборот внутреннего водного транспорта, млн т-км ()	Взвешенная скользящая средняя
3-членная	5-членная	3-членная	5-членная
	2 713	-	-	-	-
	2 433	2 528, 8	-	9 168, 1	-
	2 536	2 490, 8	2 498, 9	2 047, 6	1 378, 3
	2 458	2 485, 3	2 457, 8	742, 6	0, 1
	2 489	2 369, 8	2 354, 3	14 221, 0	18 157, 6
	2 043	2 192, 3	2 230, 3	22 276, 0	35 062, 6
	2 194	2 166, 8	2 208, 2	742, 6	201, 3
	2 236	2 307, 0	2 316, 0	5 041, 0	6 400, 0
	2 562	2 483, 3	2 430, 9	6 201, 6	17 177, 4
	2 573	2 450, 3	2 402, 4	15 068, 0	29 091, 6
	2 093	2 226, 0	-	17 689, 0	-
	2 145	-	-	-	-
Итого	28 475	-	-	93 197, 5	107 468, 9

Как видно из расчётов, взвешенные скользящие средние несколько ближе подходят к фактическим данным. Для них меньше, чем для простых средних квадрат отклонения: для трёхчленной взвешенной скользящей =93 197, 5, а для пятичленной = 107 468.

Из расчётов видно, что трёхчленная скользящая средняя лучше описывает закономерность движения уровней динамического ряда.

При устранении сезонных колебаний рекомендуется использовать четырёх- и двенадцатичленную скользящие средние. Чётное число уровней предполагает использование средней хронологической:

Использование скользящей средней с длиной активного участка приводит к тому, что первые и последние уровней ряда выпадают. Рассмотрим приём, позволяющий восстановить утраченные значения временного ряда:

1) рассчитать средний прирост на последнем активном участке

где − длина активного участка;

− значение последнего уровня на активном участке;

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒