|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Два камня брошены с земли под различными углами к горизонту со скоростями v1 и v2 так, как показано на рисунках. Какой из камней улетит дальше? Сопротивлением воздуха пренебречь.
17. Осколки снаряда, взорвавшегося на вершине башни, разлетаются с одинаковой начальной скоростью vo. Как будут располагаться в пространстве осколки после взрыва? По какой траектории движется каждый осколок? Ответ. Осколки окажутся на поверхности раздувающейся со скоростью vo сферы, центр которой опускается с ускорением g. При этом каждый осколок движется по своей параболе. 18. Камень брошен с поверхности земли под углом α = 60о к горизонту с начальной скоростью vo = 10 м/с. Чему равен радиус кривизны траектории камня в точке наивысшего подъема в системе отсчета, связанной с землей? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ. В точке наивысшего подъема скорость камня направлена горизонтально и равна v = vocosα. Ускорение свободного падения в данном случае является центростремительным (нормальным) ускорением g = v2/R, где R – радиус кривизны траектории. Отсюда R = v2/g = (vocosα )2/g = 2.5 м 19. Две автомашины тянут третью с помощью привязанного к ней блока (см. рис.). Ускорения машин а1 и а2. Определить ускорение буксируемой машины а3.
Решение а1, отн = а1 – а3; а2, отн = а2 – а3, а1, отн = - а2, отн → а1 – а3 = - ( а2 – а3) → а3 = ½ ( а1 + а2).
Решение. При свободном падении тело А за время t пройдет по вертикали путь S1 = ½ gt2. За это же время клин должен сместится по горизонтали на расстояние S2 = ½ аt2. Если тело все время соприкасается с клином, то S2/S1 =ctgα. Следовательно, искомое ускорение a = gctgα. Если ускорение клина в горизонтальном направлении будет больше gctgα, то тело будет свободно падать.
Ответ. Пути, проходимые за последовательные равныепромежутки времени, численно равны заштрихованым площадям (см. рис.) и относятсякак 1: 3: 5 … ЗАДАЧИ: Равномерное движение.
Ответ: под углом α к нормали линии берега sin α = v2/v1, smin = h[(v1/v2)2 – 1]1/2. Решение. Полная скорость v катера относительно берегов определяется законом сложения скоростей v = v1 + v2.
Конец вектора v 2 при любом его направлении должен лежать на окружности радиуса v2, центр которой совпадает с концом вектора v 1. Так как по условию задачи v2 < v1, то точка А/, соответствующая началу вектора v 1, лежит вне этой окружности. Из рисунка видно, что вектор v образует с прямой АВ наименьший угол тогда, когда он направлен по касательной к окружности. Следовательно, вектор v 2 перпендикулярен вектору v, а треугольник скоростей – прямоугольный. Таким образом, для переправы с минимальным сносом нос катера следует направлять вверх по течению к линии АВ. Синус этого угла дается выражением sin α = v2/v1. Траектория катера направлена вдоль вектора v, т.е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит нос катера. Это означает, что по своей траектории катер движется боком. На другом берегу катер причалит в точке С, расстояние до которой можно найти из подобия треугольников smin/h = v/v2. Для модуля скорости можно получить v = ( v12 – v22)1/2. В результате получаем smin = h [(v1/v2)2 – 1]1/2.
Ответ: t = v2/(v12 + v22); dmin = sv1`/(v12 + v22)1/2. Решение. 1-й способ. Определим расстояние между автомобилями через время t после прохождения первым автомобилем перекрестка. Это расстояние (см. рис.) составит d (t) = [(v1t)2 + (s – v2t)2]1/2. Минимальное значение функции d(t) можно определить, вычислив производную d/(t) и приравняв ее нулю.
u1 = 0, u2 = v2 – v1.
(см. рис.) Очевидно, траектория движения второго автомобиля в этой системе отсчета представляет собой прямую ВС, а минимальное расстояние dmin – длину перпендикуляра AD к этой прямой. Из подобия треугольника скоростей и треугольника ABD следует: dmin/s = v1/u2,
BD/s = v2/u2. Отсюда dmin = sv1/u2 = sv1`/(v12 + v22)1/2; t = BD/u2 = sv2/u2 = v2/(v12 + v22).
3. Самолет летит горизонтально со скоростью v = 470 м/с. Человек услышал звук самолета через время t = 21 с после того, как самолет пролетел над ним. На какой высоте летит самолет? Скорость звука с = 330 м/с. Ответ: Н = 10 км. Решение.
Докажем, что фронт ударной волны представляет собой коническую поверхность. Пусть самолет находится в данный момент в точке А. Рассмотрим звуковую волну, испущенную самолетом в точке В (см. рис.). Эта волна имеет к данному моменту “возраст” Δ t = AB/v. Значит, ее волновая поверхность – сфера радиуса R = cΔ t = ABc/v. Построим конус с вершиной в точке А, касающийся этой сферы. Угол α между образующей конуса и его осью (направлением полета самолета) находим из соотношения sin α = R/AB = c/v. Оказывается, этот угол не зависит от отрезка АВ. Значит, этот конус касается всех волновых поверхностей, ранее испущенных звуковых волн, т.е. является для них огибающей поверхностью. Это – так называемый звуковой конус.
h = CBtgα = vt tgα, где sinα = DA/DB = c/v. Отсюда h = ct/ [(1 – (ct)2]1/2 = 10 км. Обратить внимание, что дошедший до наблюдателя звук самолета “родился” не в точке С, а в точке D.
Ответ: V1 = 52.2км/ч, V2 = 29 км/ч
Решение.
v 1 = V 1 – u, v 2 = V 2 – u. Выберем систему координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис). Поскольку удар градины можно считать абсолютно упругим, то v1, x = v2, x, v1, y = -v2, y. Или V1sinα + ucosα = V2cosα + ucosα, -V1cosα + usinα = -V2sinα – usinα. Отсюда V2 = V1tgα, -V1cosα + V2sinα = - 2usinα. Окончательно V1 = u tg2α = 50.2 км/ч, V2 = u tgα tg2α = 29 км/ч.
5. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал n1 = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал n2 = 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе? Ответ: n = 100. Решение Пусть v – скорость эскалатора, s – его длина и n – число ступенек на эскалаторе. Если скорость человека направлена противоположно направлению движения эскалатора, то он насчитает тем меньше ступенек, чем быстрее идет. Поэтому в нашем случае направления движения и эскалатора совпадают. Число ступенек, приходящихся на единицу длины эскалатора, равно n/s. Поэтому, если человек идет со скоростью u относительно эскалатора, то время его пребывания на эскалаторе t = s/ (v + u), путь, пройденный по эскалатору S = us/ (v + u). При этом в первом случае человек насчитывает число ступенек n1 = [us/ (v + u)] (n/s). Аналогично, во втором случае он насчитывает n2 = [3us/ (v + 3u)] (n/s). Таким образом, мы получаем систему уравнений n1 = nu/ (v + u), n2 = 3nu/ (v + 3u) или 1 + (v/u) = n/n1, 1 + 1/3(v/u) = n2/n. Отсюда, исключая (v/u), найдем n = 2n1 n2/(3n1 – n2) = 100.
6. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью u = 1 м/с и небольшой шарик со скоростью v = 2 м/с. В некоторый момент времени шарик оказался в точке А на расстоянии S = 1.5 м от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова окажется в точке А? Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса шарика намного меньше массы бруска. (МФТИ, 1994) Ответ: t = 2S/(v + 2u). Решение. Решим задачу в неподвижной системе координат. Скорость сближения шарика и плиты v + u, время до столкновения t1 = S/ (v + u), за это время шарик удалится от точки А на расстояние S1 = Sv/ (v+ u). После столкновения шарика с массивной, двигающейся навстречу ему, плитой его скорость в неподвижной системе координат равна v + 2u, поэтому после отскока он пройдет расстояние S1 до точки А за время t2 = S1/ (v + 2u) = Sv/ [(v + u) (v + 2u)]. Таким образом, время, за которое шарик вернется в точку А, равно t1 + t2 = 2S/ (v + 2u).
Ответ: надо пробежать по берегу отрезок AD = S - dv1/ (v22 – v12)1/2. Решение.
t = (d2 + x2)1/2 /v1 + (S – x)/v2 = [v2(d2 + x2)1/2 – v1x + v1S] / (v1v2). Это время будет минимальным, если y = v2(d2 + x2)1/2 – v1x будет иметь наименьшее значение. Очевидно, что х, соответствующее минимальному времени t, не зависит от расстояния S. Для нахождения х, соответствующего минимальному значению y, выразим х через y и получим квадратное уравнение x2 - 2xyv1/ (v22 – v12) + (v22d2 – y2) / (v22 – v12) = 0. Решение его приводит к следующему выражению: x = { v1y ± v2 [y2 + d2v12 – v22d2]1.2 / (v22 – v12). Так как х не может быть комплексным, то y2 + d2v12 – v22d2 ≥ 0. Минимальное значение y равно ymin = d (v22 – v12)1/2. Этому значению y соответствует x = dv1/ (v22 – v12). Если S ≤ dv1/ (v22 – v12), то следует сразу плыть по прямой АВ к точке В. В противном случае надо пробежать по берегу отрезок AD = S - dv1/ (v22 – v12), а потом плыть к В. Отметим, что для пути, соответствующего кратчайшему времени, sinα = v1/v2.
8. Автомобиль, движущийся по прямолинейному отрезку шоссе со скоростью Ответ: Δ t ~ 4.5 c. Решение. Пусть автомобиль начал издавать звуковой сигнал в момент времени t = 0, находясь от человека на расстоянии L. Поскольку скорость звука определяется характеристиками воздуха, которые не зависят от скорости движения автомобиля, то до человека передний фронт звуковой волны дойдет в момент t1 = L/v. Если считать, что к моменту окончания звукового сигнала автомобиль еще не доехал до человека, т.е. L > uτ, и человек стоит практически на прямой, вдоль которой движется автомобиль, то расстояние между человеком и автомобилем в этот момент времени будет равно L – uτ , а задний фронт звуковой волны достигнет человека в момент времени t2 = τ + (L – uτ )/v. Таким образом, человек будет слышать звуковой сигнал в течение времени Δ t = t2 – t1 = τ (1 – u/v) ~ 4.5 c. Если же автомобиль во время подачи звукового сигнала проехал мимо человека в момент времени t3, т.е. L = ut3 < uτ, то в момент окончания звукового сигнала автомобиль будет находиться на расстоянии (τ – t3)u, удаляясь от человека. Следовательно, задний фронт звуковой волны достигнет человека в момент времени t2 = τ + (τ – t3)u/v, и длительность звукового сигнала услышанного человеком, стоящим вблизи от прямой, по которой движется автомобиль, равна Δ t = t2 – t1 = τ (1 + u/v) – 2ut3/v ~ 5.5 c – 0.196t3, где t3 должно быть выражено в секундах и удовлетворять неравенству 0 < t3 < τ.
Круглое ядро радиуса R, движущееся со скоростью v пролетает сквозь рой мух, движущихся со скоростью u перпендикулярно направлению полета ядра. Толщина роя равна d, в единице объема находится n мух. Сколько мух убьет ядро? Влиянием силы тяжести пренебречь. Ответ: N = ndπ R2[1 + (u/v)2]1/2. Решение. В системе отсчета, связанной с мухами, ядро подлетает к рою под углом α, причем cos α = v/(v2 + u2)1/2, и поэтому проходит в рое путь, равный d/cos α = d [1 + (u/v)2]1/2. Окончательно N = ndπ R2/ cos α = ndπ R2/ [1 + (u/v)2]1/2.
10. Шарик движется между двумя массивными вертикальными стенками, соударяясь с ними. Одна из стенок закреплена, другая удаляется от нее с постоянной скоростью u = 50 см/с. Считая движение шарика все время горизонтальным, а удары о стенки – абсолютно упругими, найти его окончательную скорость, если начальная скорость равна vo = 1967 cм/с. Ответ: v = 33 см/с Решение. После удара о неподвижную стенку скорость шарика меняет лишь направление. Чтобы вычислить скорость шарика после одного удара об удаляющуюся со скоростью u стенку, надо перейти в систему отсчета, в которой стенка покоится. В этой системе отсчета скорость шарика до удара равна vo – u. После упругого удара проекция скорости изменит знак: станет равной -(vo – u). Если затем вернуться в первоначальную (лабораторную) систему отсчета, где стенка движется со скоростью u, то здесь скорость шарика v = vo – 2u. Слагаемое -2u будет добавляться после каждого удара о движущуюся стенку. Следовательно, v = vo – 2nu, где n – число ударов о движущуюся стенку. Таким образом, при количестве ударов n = 20 шарика упадет до v = 33 см/с и он больше не догонит движущуюся стенку.
11. Некто, находясь в степи, видит на расстоянии S = 300 м от себя автомобиль, движущий равномерно со скоростью v1 = 40 км/ч по горизонтальной прямой дороге. В момент времени, когда наблюдатель увидел автомобиль, машина находилась на кратчайшем расстоянии от наблюдателя. На какое максимально близкое расстояние сможет наблюдатель подбежать к автомобилю? Считать, что наблюдатель сразу же начинает бежать со скоростью v2 = 10 км/ч, как только он увидел машину. (МАИ, 1999) Ответ: Smin = h(v1 – v2)1/2/v1. Решение.
v отн = v 2 – v 1, может быть направлена в любую сторону. При этом конец вектора v отн будет находиться на окружности радиусом v 2 с центром в точке О (см. рис.). Для того чтобы наблюдатель приблизился к автомобилю как можно ближе, вектор v отн должен быть направлен по касательной к этой окружности. Следовательно sinα = v2/v1, Smin = h cosα , Smin = h(v1 – v2)1/2/v1.
Ответ: β = arcsin (vsinα /u). Решение.
АС = vt, CB = ut, где t – время движения торпеды. Согласно теореме синусов АС/sinβ = BC/sinα или vt/sinβ = ut/sinα . Отсюда β = arcsin(vsinα /u)
Ответ: v = [(vocosα +2u)2 + (vosinα )2]1/2. Решение. Разложим скорость шарика vo на тангенциальную (вдоль плиты) и нормальную (перпендикулярно к плите) составляющие:
voτ = vosinα и von = vo cosα .
Тангенциальная составляющая, благодаря гладкости стенки, после соударения шарика не изменяется. Нормальная составляющая относительно движущейся плиты
won = von + u = vo cosα + u
после соударения изменит знак, сохранив свой модуль:
wn = - won.
Относительно неподвижной системы отсчета составляющая нормальная составляющая vn изменится на величину u:
vn = wn – u = -(vo cosα + 2u).
Полная скорость шарика относительно неподвижной системы отсчета после соударения с плитой будет
.
14. По прямому шоссе со скорость v1 = 16 м/с движется автобус. На расстоянии d = 60 м от шоссе и s = 400 м от автобуса находится человек. Человек может бежать со скоростью v2 = 4 м/с. В каком направлении он должен бежать, чтобы “перехватить” автобус, который к нему приближается? При какой наименьшей скорости человека vmin это вообще возможно? В каком направлении следует при этом бежать? Ответ: 37о ≤ β ≤ 143o, где β – угол, отсчитываемый от направления на автобус; vmin = 2.4 м/с, следует бежать перпендикулярно направлению на автобус. Решение.
sin β = (v1/v2 )sinα (уравнение следует из теоремы синусов), удовлетворяющие условию 0 < β < π. Здесь sinα = d/s. Таким образом arcsin(v1d/v2s) ≤ β ≤ 180o – arcsin(v1d/v2s); 37о ≤ β ≤ 143o.
Поскольку область решений соответствует условию sin β ≥ (v1/v2 )sinα = dv1/sv2 , то dv1/sv2 ≤ 1 или v2 ≥ dv1/s. Значит vmin = dv1/s = 2.4 м/с. При такой скорости sin β = 1, β = 90о – т. Е бежать нужно под прямым углом к направлению на автобус (а не к дороге). Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 2477; Нарушение авторского права страницы
Ответ. В случае а) горизонтальные начальные скорости у обоих тел одинаковы, а начальная вертикальная скорость больше у первого; следовательно у первого время полета больше – оно улетит дальше. В случае б) вертикальные начальные скорости у обоих тел одинаковы; следовательно, одинаковы времена полета, но горизонтальная скорость больше у первого – оно улетит дальше. 
Ответ: а3 = ½ ( а1 + а2) 
20. На клин, плоскость которого составляет угол α с горизонтом, положили тел А (см. рис.). Какое ускорение необходимо сообщить клину в горизонтальном направлении, чтобы тело А свободно падало вертикально вниз? Ответ: a > gctgα. 
21. С помощью графика скорости равноускоренного движения безначальной скорости покажите, что пути, пройденныетелом за последовательные равные промежуткивремени, пропорциональны ряду нечетных чисел. 
Удобно выполнить сложение векторов v1 и v2 по правилу треугольника (см. рис.): первым изображаем вектор v 1, для которого известны и модуль и направление, затем к его концу приставляем начало вектора v 2, для которого известен только модуль, а направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, чтобы вектор результирующей скорости v как можно меньше отклонялся от направления АВ поперек реки.
2. Два автомобиля двигались с постоянными скоростями v1 и v2 по дорогам, пересекающимся под прямым углом (см. рис.). Когда первый из них достиг перекрестка, второму оставалось проехать до этого места расстояние s. Спустя какое время t расстояние между автомобилями будет наименьшим? Чему равно это расстояние dmin? 
2-й способ. Задачу несколько усложняет одновременное движение обоих автомобилей. Поэтому можно упростить решение, связав систему отсчета с одним из них. Свяжем систему отсчета с первым автомобилем. В ней
Фронт ударной волны представляет собой огибающую сферических волн, испущенных самолетом в каждый из предшествующих моментов времени. При v > c самолет обгоняет испущенный им звук, так что фронт ударной волны может охватывать лишь область позади самолета.
Наблюдатель в точке А услышит звук, когда этой точки достигнет поверхность звукового конуса, который самолет “тащит” за собой. К этому моменту самолет окажется в точке В (см. рис.). Очевидно, 
4. Идет град и автомобиль едет со скоростью u = 29 км/ч по горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о стекло заднего окна автомобиля, наклоненное под углом α = 30о к горизонту, и отскакивает горизонтально в направлении противоположном движению автомобиля (см. рис.). Считая, что удар градины о стекло абсолютно упругий и что ее скорость непосредственно перед ударом вертикальна, найти скорость градины: 1) до удара, 2) после удара. (МФТИ-2001) 
Перейдем в систему отсчета связанную с движущимся автомобилем, тогда скорости градины до удара v 1 и после удара v2 в этой системе будут связаны с соответствующими скоростями в неподвижной системе отсчета V 1 и V 2 соотношениями
7. Человек находится на берегу озера в точке А. Ему необходимо в кратчайшее время попасть в точку В, находящуюся на озере (см. рис.). Расстояние от точки В до берега ВС = d, а расстояние АС = S. Скорость движения человека в воде v1, а по берегу v2 > v1. Каким путем должен двигаться человек: плыть из точки А по прямой АВ или пробежать по берегу некоторое расстояние и после этого плыть по направлению к точке В? 
Предположим, что траектория движения человека – ломанная линия ADB (см. рис.). Необходимо определить при каком значении х время будет минимальным. Время движения
Рассмотрим систему отсчета, связанную с автомобилем. Скорость наблюдателя относительно автомобиля, равная
12. Корабль выходит из пункта А и идет со скоростью v, составляющей угол α с линией АВ (см. рис.). Под каким углом β к линии АВ следовало бы выпустить из пункта В торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в тот момент, когда корабль находился в пункте А. Скорость торпеды равна u. 
Точка С (см. рис.) – место встречи корабля и торпеды.
13. Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью u. летящий в горизонтальной плоскости со скоростью vo шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика составляет угол α с перпендикуляром к плите (см. рис.). Найти скорость v шарика после соударения с плитой. Плита, обладая очень большой массой, не изменяет своей скорости в результате соударения с шариком. Считать соударение абсолютно упругим. Силой тяжести пренебречь.
Решение задачи становится проще и нагляднее, если перейти в систему отсчета, связанную с автобусом. В этой системе отсчета скорость человека V = v2 – v1. Величина скорости V роли не играет, а направление должно быть таким, чтобы человек пересек шоссе правее “стоящего” автобуса или, в крайнем случае, вышел точно на автобус (см. рис.). Конец вектора V лежит на окружности радиуса v2 (см. рис.). Очевидно, угол β между отрезком АВ и направлением v2 должен лежать в пределах β 1 ≤ β ≤ β 2, где β 1 и β 2 – два решения уравнения