Методы измерения показателей колеблемости и устойчивости в ряду динамики

Типов колебаний статистических показателей очень разнообразно. Все их можно объединить в три основных:

1) пилообразная или маятниковая колеблемость;

2) циклическая долгопериодическая колеблемость

3) случайно распределённая во времени колеблемость.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременном отклонении эмпирических уровней от тренда в одну и в другую сторону (рисунок 1). Такую колеблемость можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники.

Рисунок 1 − Пилообразная или маятниковая колеблемость

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна например солнечной активности (11 лет) (рисунок 2). Для этого типа характерны резкая смена знаков отклонений от тренда и накапливающийся эффект.

Рисунок 2 − Циклическая долгопериодическая колеблемость

Случайно-распределённая во времени колеблемость нерегулярная, хаотическая. Она может возникнуть при наложении множества колебаний с разными по длительности циклами (рисунок 3). Например, сумма осадков за зимний период.

Рисунок 3 − Случайно распределённая во времени колеблемость.

Для распознания типа колеблемости применяют графическое изображение, абсолютные и относительные показатели колеблемости уровней динамического ряда, метод «поворотных точек» Кендела.

В качестве абсолютных показателей колеблемости применяют: размах колебаний, среднее линейное отклонение от тренда, среднее квадратическое отклонение от тренда.

Размах колебаний в динамическом ряду есть разность между наибольшим и наименьшим по алгебраической величине отклонений от тренда.

Среднее линейное отклонение от тренда вычисляется по формуле

Среднеквадратическое отклонение от тренда равно:

Относительные показатели колеблемости уровней ряда динамики относительно тренда являются характеристики, представляющие частное от деления абсолютных показателей и среднего уровня ряда за тот же период.

Относительный размах колебаний равен отношению абсолютного размаха к среднему уровню ряда:

Относительное линейное отклонение равно отношению среднего линейного отклонение уровней ряда от тренда к среднему уровню:

Коэффициент колеблемости есть отношение среднего квадратического отклонения уровней ряда от тренда к среднему уровню:

Относительные меры колеблемости, и основная из них коэффициент , позволяют сравнивать силу колебаний в различных динамических рядах. Сильной можно считать колеблемость при коэффициенте колеблемости более 20%.

Для выявления типа колебаний воспользуемся приёмом, предложенным М. Кенделом. Он состоит в подсчёте так называемых «поворотных точек» в ряду отклонений от тренда, т.е. локальных экстремумов. Отклонение либо большее по алгебраической величине, либо меньшее из двух соседних, отмечается точкой.

При маятниковой колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, будут «поворотными», следовательно их число составит:

где − число членов в ряду динамики.

При долгопериодических циклах на цикл приходится один минимум и один максимум, а общее число точек составит:

где − длительность цикла.

При случайно распределённой во времени колеблемости число поворотных точек в среднем составит:

Например: Представлены данные о числе разводов в Хабаровском крае (таблица 24).

Таблица 24 − Расчётная таблица

Год	Число разводов	Отклонения от тренда		Поворотные точки

		7 856, 5	-1 000, 5	1 001 000, 3
		7 872, 2	195, 8	38 337, 6
		7 887, 9	1 782, 1	3 175 880, 4
		7 903, 7	3 130, 3	9 798 778, 1
		7 919, 5	1 672, 5	2 797 256, 3
		7 935, 4	-542, 4	294 197, 8
		7 951, 2	-1 266, 2	1 603 262, 4
		7 967, 2	-620, 2	384 648, 0
		7 983, 1	260, 9	68 068, 8
		7 999, 1	118, 9	14 137, 2
		8 015, 1	303, 9	92 355, 2
		8 031, 1	-382, 1	146 000, 4
Итого		-	-	19 413 922, 5

Рассчитать абсолютные и относительные показатели колеблемости. Определить тип колебаний методом «поворотных точек».

Решение

Размах колебаний разводов:

Среднее линейное отклонения от тренда числа разводов

Среднеквадратическое отклонение

Относительный размах колебаний

Относительное линейное отклонение

Коэффициент колеблемости .

Коэффициент колеблемости показывает невысокую колеблемость.

Определим тип колеблемости на основе метода «поворотных точек». В результате нахождения локальных экстремумов получили 5 поворотных точек. Определим к какому типу колеблемости относится представленный динамический ряд.

При маятниковой колеблемости получаем «поворотных точек». При долгопериодических циклах ,

при маятниковой колеблемости . Следовательно, динамика числа разводов имеет случайно распределённую колеблемость.

По отношению к статистическому изучению динамики понятие устойчивости можно рассматривать в двух аспектах:

1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости;

2) устойчивость направленности изменений, то есть устойчивость тенденции.

В первом понимании показатель устойчивости выступает как мера устойчивости . Этот показатель характеризует близость фактических уровней к тренду и совершенно не зависит от характера тренда. Чем ближе этот показатель к 100%, тем выше степень устойчивости уровней динамического ряда.

Например: Воспользуемся данными предыдущего примера и рассчитаем устойчивость числа разводов в динамическом ряду:

следовательно, устойчивость динамики числа разводов высокая.

Устойчивость во втором смысле характеризует не сами уровни, а процесс их направленного изменения. С этой точки зрения полной устойчивостью направленного изменения уровней динамического ряда следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост) либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строгой ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости изменений.

В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции Ч. Спирмена

где − число уровней;

− разность рангов уровней и номеров периодов времени

где − ранги уровней;

− номера периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего и номеров периодов времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов «+1». Это значение соответствует случаю полной устойчивости возрастания уровней.

При полной противоположности рангов уровней рангам периодов коэффициент корреляции Спирмена равен «-1», что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой либо тенденции.

Например: По данным о числе разводов в Хабаровском крае рассчитать коэффициент корреляции Спирмена и установить, существует ли тенденция в этом динамическом ряду (таблица 24).

Таблица 24 − Расчётная таблица

Год	Уровни,	Ранги уровней,	Номера лет,





				-2
				-5
				-5
				-1
				-3
				-2
				-7
Итого		-	-	-

Решение

Рассчитаем коэффициент корреляции Спирмена

Таким образом тенденция роста числа разводов в Хабаровском крае высокоустойчивая и стремится к возрастанию.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒