Модели автокорреляции и авторегрессии

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 13Следующая ⇒

Наличие автокорреляции приводит к искажению средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии и затрудняет построение доверительных интервалов, а также проверку их значимости по соответствующим критериям. Кроме того, автокорреляция может привести к сокращению числа наблюдений. Возникает автокорреляция в отклонениях от трендов, а также в случайных остатках уравнений регрессии, построенных по многомерным рядам динамики.

Автокорреляция – это корреляционная зависимость между последовательными (соседними) значениями уровней временного ряда.

Для оценки этой степени зависимости вычисляют коэффициенты автокорреляции между уровнями исходного ряда и уровнями того же ряда, но со сдвинутыми на шагов во времени.

где - уровни исходного ряда;

- уровни того же динамического ряда, но сдвинутые на шагов во времени;

- величина лага, принимающая значения 1, 2, 3 и т.д. и определяющая порядок коэффициента автокорреляции. При рассчитывают коэффициент автокорреляции первого порядка ( ), т.е. оценивается корреляция текущих значений временного ряда ( ) с предшествующими значениями ( ).

С увеличением величины лага ( ) увеличивается порядок автокорреляции:

- автокорреляция второго порядка;

- автокорреляция третьего порядка;

……..

- автокорреляция порядка .

Значения коэффициента автокорреляции изменяются в пределах . Чем ближе его значения к 1, тем сильнее зависимость текущих уровней динамического ряда от предыдущих.

При анализе временных рядов необходимо знать: существует автокорреляция в уровнях ряда или нет. Самым распространенным методом проверки автокорреляции является критерий Дарбина − Уотсона.

Критерий Дарбина – Уотсона оценивает автокорреляцию остатка. Если автокорреляция в остатках отсутствует, то уравнение пригодно для прогноза.

При построении уравнения тренда предполагается, что представляют собой случайные величины, независимые переменные, среднее значение которых равно нулю ( ). Это предположение имеет место, если вид функции выбран правильно. В противном случае наблюдается корреляция остатков за текущий ( ) и предыдущий ( ) моменты времени.

О наличии или отсутствии автокорреляции остатков свидетельствует критерий Дарбина − Уотсона:

Сравнивая фактическое значение ( ) с табличным при заданном (число уровней динамического ряда) и (числе параметров при в уравнениях тренда), можно определить наличии или отсутствии автокорреляции в остатках.

При отсутствии автокорреляции . при наличии сильной положительной автокорреляции и при сильной отрицательной автокорреляции.

Если автокорреляция отсутствует, то , при сильной положительной автокорреляции , в случае сильной отрицательной автокорреляции .

Значения критерия Дарбина − Уотсона при 5% уровне значимости представлены в приложении А. В этой таблице верхняя доверительная граница критерия Дарбина − Уотсона, − нижняя.

Использование в практических расчётах критерия Дарбина − Уотсона основано на сравнении величины , рассчитанной по формуле с теоретическими значениями и , взятыми из таблицы.

Если расчётное значение находится в интервале от до ( ), то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется, если же или , то нет статистических оснований ни принять, ни отклонить эту гипотезу (область неопределённости). Если или , то это указывает на наличие автокорреляции.

_______________________________________________

есть ? нет ? есть

(+) (-)

По длинному динамическому ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: . Последовательность значений автокорреляции называют автокорреляционной функцией. Эта функция даёт представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью автокорреляционной функции можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: он равен величине лага , при которой коэффициент автокорреляции наибольший.

Одним из важных вопросов анализа авторегрессии является определение порядка авторегрессионной модели. Низкий порядок модели может дать существенные результаты, так как в модели не использована важная информация за предыдущие моменты времени. Повышение порядка авторегрессионной модели может привести к снижению качества модели, поэтому анализ авторегрессии не ограничивается построением только одной модели, строится несколько моделей, по которым определяется её порядок. Сначала строится уравнение авторегрессии первого порядка:

и для неё находится коэффициент автокорреляции.

Затем строится модель второго порядка:

Для неё рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции . Если будет превышать , то переходят к построению модели третьего порядка. Для этой модели также рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции , который сравнивается с предыдущим. Эти расчёты повторяются до тех пор, пока множественный коэффициент автокорреляции практически станет неизменным при добавлении очередных уровней. Коэффициент множественной автокорреляции определяется по формуле

где - коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе;

- парные коэффициенты корреляции.

Выбранная модель может быть использована при краткосрочном прогнозировании.

При анализе временных рядов иногда исследуется наличие или отсутствие автокорреляции между отклонениями фактических и выравненных уровней.

Если £ 0, 3 необходимо проверять наличие автокорреляции в остатках с помощью коэффициента Дарбина − Уотсона для остаточных величин:

где x_t - отклонения эмпирических значений уровней от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Если в рядах динамики или в остаточных величинах имеется автокорреляция, то оценки коэффициентов регрессии, полученные методом наименьших квадратов, будут несмещёнными, но неэффективными, так как наличие автокорреляции увеличивает дисперсии коэффициентов регрессии и затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии и проверку их значимости.

Следовательно, прежде чем проводить корреляционно-регрессионый анализ временных рядов, необходимо исключить из исследуемых рядов автокорреляцию.

Существует четыре способа исключения автокорреляции:

1. Метод последовательных или конечных разностей. Модель имеет вид:

Сущность метода заключается в последовательном исключении величины предшествующих уровней из последующих:

; ;

; ...

;

При коррелировании разностей измеряется теснота связи между разностями последовательных величин уровней в каждом динамическом ряду. Коэффициент корреляции разностей показывает тесноту связи между изучаемыми рядами

2. По отклонениям фактических значений уровней от теоретических, выравненных на основе тренда. Полученную модель можно представить следующим образом:

Если установлено наличие корреляции между эмпирическими и выравненными уровнями необходимо:

1) осуществить аналитическое выравнивание сравниваемых рядов по любому рациональному многочлену;

2) рассчитать отклонения эмпирических уровней от полученных теоретических значений;

3) определить коэффициент корреляции отклонений по формуле

где .

Коэффициент корреляции отклонений характеризует степень связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих им выравненных уровней коррелируемых рядов динамики.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 101112 13 Следующая ⇒