Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев, 1976. Стр. 26 – 55; 64-67.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 13

6. Что включать в математику? Что такое прикладная математика? Вообще, существует ли она? Эти вопросы сейчас вызывают порой ожесточенную дискуссию. Любопытно, что термин «прикладная математика» стал сейчас чрезвычайно модным (особенно среди неспециалистов).

Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие «прикладная математика» среди математиков состоит в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем, разные математики вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в зависимости от того, что они, математики, включают в самое математику (1).

Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто дедуктивные построения. Все, что лежит вне таких построений, к математике и к математикам отношения не имеет ине должно называться математикой, даже прикладной (2). Ныне эта точка зрения редко высказывается вслух, но «неофициально» она еще довольно распространена; между прочим, она представляется «удобной» многим преподавателям математики у нематематиков.

В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: «Попытки — ксожалению, довольно частые — изолировать «чистую» математику от всей остальной научной деятельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, ипрочие науки» [1, с. 234].

Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: «Чисто логические концепции должны составить, так сказать, твердый скелет организма Математики, сообщающий ей устойчивость идостоверность. Но самое жизнь математики, важнейшие наведения иее продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики — это то же, что искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и сосудов» [2, с. 44].

Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: «Физика не только дает нам (математикам. — Авт.) повод к решению проблем; она еще помогает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых, она дает нам предчувствия решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений» [3, с. 108].

Здесь в сущности выражена вторая точка зрения, на наш взгляд гораздо более приемлемая; она заключается в том, что в сферу действия математики вводятся также и практические методы решения задач, приходящих извне математики (приближенные методы, применение математических машин и т. п.).

Однако еще более нам импонирует самая широкая — третья — точка зрения, согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и включает все математические сущности — математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные или другие рациональные (§ 3) рассуждения математического характера и т. п.

В весьма интересной книге Д. Пойа [4, с. 309] говорится: «Пределы математики — это вся область доказательных рассуждений, относящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть выражены в абстрактной, логико-математической форме». Хочется добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать узко догматическое содержание.

Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая представляется нам наиболее прогрессивной и плодотворной для математики (и, что довольно существенно, также для математиков), приходится поступиться «теоретико-множественным единством» математики, оставив его лишь за неким «ядром» математики.

7. Точки зрения на прикладную математику.Прежде всего с огорчением отметим, что, по мнению некоторых математиков, заниматься приложениями вообще зазорно. По этому поводу Ф. Клейн писал: «К сожалению... все еще встречаются университетские преподаватели, которые не находят достаточно презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое сказывается в таких взглядах, должно бороться самым решительным образом. Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной области, следовало бы ценить одинаково высоко, представляя каждому возможность заниматься теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда каждый проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом талантов он обладает: величайшие гении, каковы Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда охватывали равномерно и теорию и практику [5, с. 314].

Приведем еще слова Р. Куранта: «На самом деле между «чистой» и «прикладной» математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике не должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непогрешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная «кастовость» — в лучшем случае симптом человеческой ограниченности» [6, с. 27]. На вреде такого снобизма останавливается также Н. Бейли в своей полезной книге [7, с. 138] в связи с приложениями математики к биологии и медицине.

В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассматривает «прикладника» как математика второго сорта, как ученого, который не способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общности. Легко обнаруживая у «прикладников» промахи в строгости рассуждений, теоретик часто остается равнодушным к их основному достоинству — умению с достаточной для практических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить не может» [8].

В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая сторона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне все чаще признается объективное существование прикладной математики. Однако и за подобным признанием скрываются различные точки зрения.

Так, некоторые считают, что прикладная математика — это «ширпотребная», в дурном смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой области) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недостатки прикладной математики должны быть преодолены, в результате чего эта «недоматематика» возвысится до нормального математического уровня. Иногда подобная точка зрения является реакцией на те, отнюдь не редкие, работы, в которых математическое легкомыслие приводит к прямым ошибкам (мы ниже будем подробно говорить о таких ошибках), или, что гораздо хуже, на те работы, в которых математическая малограмотность «компенсируется» ссылками на прикладную значимость результатов. К сожалению, эта точка зрения порой проникает и в сознание прикладников, вызывая у них некий комплекс неполноценности. Это, в свою очередь, приводит к самым нелепым (часто комическим) наукообразным упражнениям.

Думается, что эта наивная, но распространенная точка зрения, если она не является проявлением снобизма, основана на тяжелом непонимании истинной ситуации. В самом деле, как с этой точки зрения можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало неглупых людей, применяя математику, упорно уклоняются от строго дедуктивного языка? И хотя в институтах их систематически учат этому языку, они (себе во вред? ) предпочитают переучиваться, переходя на язык прикладной математики и перестраивая весь образ математического мышления. В действительности такая перестройка порой напоминает ломку, так как при этом отбрасываются многие «чистые» определения, теоремы и приемы, на которых категорически настаивает чисто дедуктивный образ мышления. По нашему мнению, такая перестройка вполне естественна и единственное объяснение ее состоит в том, что она необходима. Ниже мы постараемся доказать, что отсутствие категорического требования о формальнологическом совершенстве в приложениях математики неизбежно и представляет собой не признак слабости, а источник особой силы прикладной математики.

Другая точка зрения отождествляет прикладную математику с вычислительной и машинной математикой. Эта точка зрения представляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.

Остановимся теперь на точке зрения, высказанной в нашей статье [9]. Мы исходили из того, что математическое решение прикладных задач обладает серьезной спецификой. Прежде всего, здесь принципиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует и не должна претендовать на его полное описание. С другой стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второстепенными: прикладная задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, экономно по затраченным усилиям, решение должно быть доступным для существующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, точность решения должна соответствовать задаче и т. п. В этом же духе пишут И. Бабушка, Э. Витасек и М. Прагер в своей очень интересной книге [10, с. 9]: «...сегодня задача считается решенной только в том случае, если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с достаточной точностью за приемлемый отрезок времени». В книге Н. С. Бахвалова [11, с. 14], написанной с глубоким пониманием реальных прикладных ситуаций, говорится, в частности: «Лучше найти удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бесполезным».

Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг другу требований мы условно назвали оптимальностью решения (по отношению к приложениям), хотя и предупредили, что на данном этапе развития науки единую функцию цели было бы указать затруднительно. Исходя из этого, было предложено определение прикладной математики как науки об оптимальных, грубо говоря, практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики. Таким образом, прикладная математика — это математика, опосредствованная практикой, это как бы составная дисциплина наподобие биохимии или теплотехники. Развитие этой дисциплины определяется как расширением круга приложений, так и изменением конкретного содержания понятия оптимальности решения задачи; в частности, это содержание существенно изменилось под влиянием современных вычислительных средств. Само собой разумеется, что если мы ищем оптимальное решение, то это не значит, что мы должны отвергать решения, лишь приблизительно отвечающие требованию оптимальности. Значительная часть реальных решений, которыми мы пользуемся, как раз и есть решения, в данное время в какой-то мере удовлетворяющие этому требованию.

По данному поводу можно напомнить известный афоризм: «Чистая математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная — то, что нужно, так, как можно» (3). Он в целом правильно передает тенденции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных смыслах. Имея в виду только второй смысл, скажем, что ниже делается попытка показать, что прикладная математика призвана делать то, что нужно, так, как нужно.

Представляется привлекательной и точка зрения, устно высказанная Л. В. Овсянниковым: прикладная математика — это наука о математических моделях; более подробно можно сказать — о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации математических моделей. Это определение, выделяющее объект науки, на наш взгляд, отнюдь не противоречит предыдущему, которое имеет более функциональный характер. Таким образом, если проводить аналогию — в целом, довольно далекую — между математикой и языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать грамматику и семантику соответственно.

Дискуссии о том, образует ли прикладная математика самостоятельную науку, представляются несколько схоластическими из-за многозначности выражения «самостоятельная наука». Возможно, что более правильно говорить не о науке, а об определенном аспекте математики, возникающем при ее приложениях, так сказать, о результате своеобразного «проецирования» математики на цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика приобретает качественно новые черты. Это проецирование, эти черты и определяют прикладную математику.

Поэтому мы будем пользоваться словами прикладная математика как рабочим термином, определенным последними из приведенных выше точек зрения, оставив вопрос о самостоятельности существования прикладной математики как науки философам (4). В отличие от этого, говоря о чистой математике, мы будем, в первую очередь, иметь в виду «ортодоксальную» математику от Вейерштрасса до Бурбаки, основанную на наивной теории множеств. Подчеркнем, что выделение чистой и прикладной математики никак не имеет абсолютного характера, так как это по существу различные аспекты науки, сохраняющей важнейшие черты единства (прежде всего, в основном предмете изучения — структурах, но и не только в этом). В каждом из этих аспектов возникают свои глубокие активно взаимодействующие идеи. (Поэтому представляется неудачным говорить не о «чистой», а о «теоретической» математике.) Однако это взаимодействие далеко от оптимального!

Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам: каковы характерные черты, возникающие при приложении математики; в чем специфика метода рассуждений прикладной математики, в частности, какие рассуждения признаются в ней доказательными, и т. д. Обсуждение этих вопросов может сказаться полезным, даже жизненно актуальным и в исследованиях совершенно конкретного характера.

Приведем в заключение яркие слова Р. Куранта [6, с. 27], говорящие о различии подхода к проблемам чистой и прикладной математики и служащие своеобразным введением к нашему последующему изложению.

«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному; приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому временами возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких пробелов в логике мышления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если сторонник такого подхода сталкивается с трудностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть («то, что можно — так как нужно».— Авт.). Существует и другой обходной путь: заново определить то, что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная процедура иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной задачи.

В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с общечеловеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить известную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном практического направления, например, о течениях с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать достоверность используемой математической модели. (На самом деле это несколько сложнее и мы будем об этом далее говорить.— Авт.) И, наконец, в прикладной математике доминируют аппроксимации (приближения) — без них невозможно обойтись при переносе реальных физических процессов на математические модели.

Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти объясняет характер интеллектуального риска и удовлетворение, которое испытывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач, возникающих всюду, куда проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управлению ею».

§ 2. О РАЗЛИЧИИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ В ЧИСТОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

1. Предварительные замечания.Имеется много математических понятий и утверждений, которые в чистой и прикладной математике трактуются одинаково или почти одинаково и потому могут быть более или менее непосредственно перенесены из чистой математики в прикладную — конечно, если они представляют интерес для последней. К их числу относятся разнообразные тождественные преобразования, понимаемые в широком смысле, например к таким преобразованиям можно отнести и формулу Грина; многие другие однозначно понимаемые формулы, например формулы дифференцирования или формула для решения квадратного уравнения; утверждения типа «все решения данного уравнения положительны», «данная задача не может иметь более одного решения» и т. д.

Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в чистой и в прикладной математике принципиально различаются. Здесь мы остановимся именно на случаях, когда понятия и утверждения чистой математики не приемлемы для прикладной математики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь, неприемлемые с точки зрения чистой математики; сюда же примыкает важный вопрос о понятии строгости.

2. «Существование» в чистой и прикладной математике.В чистой математике (как было сказано в конце п.1.7, здесь имеется в виду ее общепринятый «наивный» уровень) понятию «существование» долгое время вообще не давалось ни определений, ни пояснений; как бы подразумевалось, что его содержание и так каждому ясно. Самими собой понятными считались выражения типа (а) «решение этой задачи существует», или (б) «в множестве М существует по крайней мере один элемент х₀, обладающий свойством α ». Д. Гильберт разъяснил содержание термина «существование» (в рамках чистой математики). По Гильберту, «существование» тождественно логической непротиворечивости. Тем самым термину было приписано вполне ясное содержание, причем одновременно обнаружилась и определенная бедность этого содержания с прикладной точки зрения. Отметим, что еще Г. Кантор в «Теории множеств» говорил, что под существованием математических объектов можно понимать лишь отсутствие противоречий в понятиях об этих объектах. Потом эту мысль развил А. Пуанкаре: «...слово «существовать» может иметь только один смысл, оно означает именно отсутствие противоречия» (Пуанкаре А. Математика и логика. В кн.: Новые идеи в математике, 10. Пг., 1915, с. 6). Д. Гильберт положил эту трактовку в основу своей системы логики.

Для прикладника математический объект всегда представляет собой схематизацию реального, например физического, объекта. Поэтому голое утверждение о существовании математического объекта, например утверждение «решение данной задачи существует», обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. В лучшем случае оно может иметь какое-либо вспомогательное, промежуточное значение, либо может иметь наводящий характер для «подлинного» утверждения о существовании, в котором математический объект фактически конструируется с приемлемой точностью, например, в случае (а) находится решение, а в случае (б) указывается элемент х₀ (5).

Разумеется, доказательство теоремы о существовании всегда служит вдохновляющим фактором для исследователя в его поисках конструктивного решения (6); отсутствие такого доказательства может вообще удержать наиболее осторожных исследователей пессимистического склада от фактического конструирования решения.

Однако в целом можно сказать, что неконструктивное доказательство существования не обладает большой ценностью для прикладника, а отсутствие такого доказательства неспособно его обезоружить в поисках фактического решения. Многое зависит от способа доказательства теоремы о существовании. Пусть, например, бесконечное множество М достаточно простой структуры служит математической моделью реального (конечного! ) объекта R с неопределенно или просто достаточно большим числом элементов. Например, множество натуральных чисел может служить моделью упорядоченной дискретной реальной совокупности, состоящей из конечного, но неопределенно большого числа элементов. Аналогичная ситуация возникает, когда мы какой-либо реальный объект неопределенно большой или просто достаточно большой протяженности во времени или в пространстве заменяем при исследовании на объект бесконечной протяженности.

Если утверждение «в М существует по крайней мере один элемент х₀, обладающий свойством α », доказано с помощью прямого конструирования этого элемента, то обычно бывает сравнительно просто разобраться, что отвечает этому утверждению в R. Но если оно получено путем приведения к логическому противоречию противоположного утверждения («каждый элемент М не обладает свойством α »), то ситуация оказывается более сложной. Так, элемент из R, который должен был бы отвечать х₀, может оказаться в той «неопределенной дали», где примененная математическая схематизация теряет свою отчетливость.

Отметим, что известные возражения интуиционистов против применения закона исключенного третьего (7) к бесконечным множествам (см., например, [12; 13]) имеют основания, по-видимому, до некоторой степени сходные с приведенными. Упрощенно говоря, интуиционисты считают, что математический объект признается существующим, только если он фактически указан.

Неконструктивные утверждения о существовании могут получаться также при применении закона исключенного третьего к конечным множествам. Правда, если элементов у множества немного - а свойство α, которым должен обладать искомый элемент х₀, легко проверяемо, то эффективное построение этого элемента можно осуществить хотя бы с помощью простого перебора или какого-либо иного метода, на указание которого может вдохновить чистая теорема существования. Но если названные условия нарушены, то утверждение становится менее конструктивным, причем такая неконструктивность может дойти до полной.

Приведем пример. Одним из первых начал применять неэффективные доказательства существования для конечных множеств П. Дирихле на основании выдвинутого им утверждения, которое теперь называется принципом Дирихле. Этот принцип, легко вытекающий из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов разложено по т ящикам, причем п > т, то по крайней мере в одном из ящиков будет более одного предмета. Так, с помощью принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным населением в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека с одинаковым числом волос (для этого надо к одному классу — «ящику» — отнести людей с одинаковым числом волос). Но ведь установление этого факта никак не помогает персонифицировать эту пару «равноволосых» людей; более того, по отношению к любому прошедшему моменту такая персонификация вряд ли возможна когда-либо в будущем, хотя теорема о существовании равноволосых пар установлена!

Между прочим, утверждение типа «среди первых 100 натуральных чисел существует число п, обладающее свойством α », уже имеет прикладное содержание, если число 100 в рассматриваемой реальной задаче является на самом деле конечным, т. е. до него можно фактически добраться. Если задача состоит в отыскании числа, обладающего свойством α , то приведенное утверждение содержит не менее «0, 01 полного решения», которое можно получить хотя бы с помощью перебора (в реальной возможности такого перебора и состоит «истинная конечность» числа 100 в рассматриваемой ситуации), если не представится ничего лучшего. Впрочем, возможны и реальные задачи, для которых утверждение, приведенное в начале абзаца, служит полным решением.

Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на понятие существования математического объекта: в прикладной математике он существует как математическая модель реального объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда как в чистой математике он существует как идея, не противоречащая принятой системе аксиом. Интересно отметить, какой метаморфозе подвергается понятие существования, переходя из естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из служебного понятия в объект изучения! Здесь проявляется общий тезис о том, что одни и те же слова могут иметь для различных людей далеко не одинаковый смысл. Различные группы людей как бы говорят на хотя и значительно взаимосвязанных, но не идентичных и порой сильно отличающихся друг от друга языках. Игнорирование этого служит постоянным источником недоразумений.

В заключение приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [14, с. 136—137 и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.

«Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно вывести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором ничего, кроме противоречия».

«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике? К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовлетворительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждала, что в математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из которых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Геделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере, в той форме, в какой она была намечена самим Гильбертом, не может быть осуществлена (8). Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализованного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жизненным элементом в математике».

3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту важнейшую проблему, которая также по-различному трактуется в прикладной и чистой математике. Реальные объекты всегда конечны, поэтому бесконечный математический объект (бесконечная последовательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в результате упрощающей математической схематизации, когда «далекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их влияние сходит на нет (9). Таковы понятия упругого пространства (полупространства и т. д.) или бесконечно длинной балки на упругом основании в теории упругости, или понятие об установившемся режиме вынужденных колебаний (или автоколебаний), на который не влияют начальные условия. Реальное количество элементов или реальный размер интервала, дающие возможность перехода к математической бесконечности, в различных задачах даже при изучении одного и того же объекта весьма различны; они зависят от «скорости затухания» влияния далеких элементов и принятой оценки существенности этого влияния. Поэтому такая бесконечность является, по существу, незавершенной и притом счетной: в дискретном случае количество «конечных» элементов, которые имеют «персональное» значение, может в аналогичных рассмотрениях и даже в процессе одного и того же рассмотрения меняться, бесконечное множество может при этом заменяться на конечное и обратно. Аналогичные метаморфозы в непрерывном случае происходят со временем установления, пограничным слоем и т. д.

Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется в результате схематизации конечной системы, в которой каждый элемент потерял индивидуальное значение. При такой схематизации дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число элементов в системе, обеспечивающее возможность такой упрощающей замены, может оказаться весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении наибольшего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой в n точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного n-угольника. Расчеты показывают, что уже при п = 5 эту систему опор можно с достаточной точностью заменить на кольцевую шарнирную опору вдоль всего контура. Таким образом, в рассматриваемой задаче уже 5 ≈ ∞.

Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально (завершенно) бесконечных множеств, при переводе на язык приложений нуждаются в тщательном анализе.

Имеется еще одно существенное отличие в подходе чистой и прикладной математики к бесконечному: речь идет о понятии бесконечно малого. Как известно, чистая математика уже давно отвергает концепцию актуальной бесконечно малой, а современные математические курсы для математиков вообще обходятся без упоминания этого понятия. В то же время все дифференциальные законы прикладных дисциплин выводятся и трактуются на уровне актуальных бесконечно малых, причем стихийно, без явных формулировок выработались навыки действий с такими величинами, например представления о том, когда можно, а когда нельзя отбрасывать величины высшего порядка малости и т. п. Например, при рассмотрении криволинейного движения материальной точки для построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный бесконечно малый) участок траектории заменить на малый прямолинейный отрезок, отбросив малые высшего порядка, определяющие искривление этого участка. Однако в динамике при рассмотрении действующих на точку сил уже приходится удерживать малые 2-го порядка, а малый участок траектории можно заменить на дугу окружности. Если же изучается кручение траектории в пространстве, то начинают играть роль даже величины 3-го порядка малости по сравнению с длиной участка траектории.

Впрочем, отсутствие развернутого исчисления бесконечно малых и сейчас может привести в более сложных ситуациях к недоразумениям и даже к прямым ошибкам.

Иногда думают, что вывод и трактовку дифференциальных законов можно сделать «вполне строгими» с помощью «строгого» (на ε -уровне) перехода к пределу. На самом деле положение существенно сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и молекулярных свойств, в силу которых рассматривать физические величины, уменьшенные сверх некоторых разумных границ, вообще лишено смысла. В связи с этим физики вводят «физически» или «практически» бесконечно малые величины, допустимые при рассмотрении физических дифференциальных законов, впрочем, не давая этому понятию определения на уровне чистой математики. Строгий (в смысле чистой математики) предельный переход производится на самом деле в некоторой математической модели физической картины, однако правила построения этой модели не являются в этом же смысле строгими. Иногда просто говорят, что такая модель получается в результате осреднения реальной картины по областям физически бесконечно малых размеров, но такую оговорку чистая математика, конечно, не может признать строгой.

В качестве типичного примера рассмотрим определение плотности в точке неоднородного тела

(1)

где (Δ V) означает малую область, содержащую точку A, a Δ V — объем этой области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально (Δ V) не должна безгранично уменьшаться, ее размеры должны быть существенно больше межмолекулярных расстояний, хотя и существенно меньше характерных конечных размеров, на которых плотность может заметно измениться. Применяя для области таких размеров букву d вместо Δ, приходим к формулам

в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно малые величины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным оценкам; эти величины можно рассматривать как переменные или как постоянные. Формулу (1) можно понимать в смысле чистой математики, если реальное вещество, состоящее из частиц, предварительно заменить с помощью осреднения и «сглаживания» результата на математическую сплошную среду.

Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные масштабы протяженности, возникают при рассмотрении плотности населения на Земле или плотности распределения звезд во Вселенной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом примере оно выглядело бы несколько странно...

Примененные выше выражения «существенно больше», «существенно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто математического смысла, это типичные рациональные понятия (§ 3). В большинстве теоретических рассуждений эти понятия и не нуждаются в полном уточнении, достаточно иметь уверенность в том, что величина выбирается с необходимым «запасом прочности», который может понадобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях переход к величинам высшего или низшего порядка означает по традиции попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде случаев такой коэффициент, как бы меняющий качество величины, имеет существенно иное значение. Какие-либо обоснованные общие соображения о выборе этого коэффициента пока отсутствуют и трудно себе представить, на что они могли бы опираться.

Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией дифференциальных законов, имеют всегда не чисто дедуктивный, а рациональный характер.

4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному математическому понятию, как число, чистая и прикладная математика относятся по-разному: первая — как к преимущественно логическому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или к количественной мере реальной дискретной совокупности (натуральное число) или непрерывной протяженности (вещественное число). Это различие подхода особенно ярко проявляется при рассмотрении весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших или малых чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно связаны с проблемой бесконечности (п. 3) и частично затрагивались выше.

Будем рассматривать сначала натуральные числа, истолковывая такое число как мощность — количество элементов реального множества. Если первые числа имеют отчетливо выраженную индивидуальность, то по мере увеличения индивидуальность чисел постепенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной скоростью. При этом имеется в виду не формальная, а реальная индивидуальность: например, число 10¹⁰ имеет отчетливую формальную

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 1213