Движение тела переменной массы. Реактивное движение

Переменная масса тела возникает в том случае, когда некоторая часть массы тела отделяется с некоторой скоростью от самого тела (возможно также присоединение массы телом во время движения). Отделившаяся часть может быть представлена, например, массой реактивной струи ракетного двигателя. Рассмотрим вначале движение ракеты в космосе, когда кроме силы со стороны реактивной струи, других сил, действующих на ракету, нет. В этом случае газы реактивной струи и ракета являются замкнутой (изолированной) системой и для этой системы выполняется закон сохранения импульса, т.е. суммарный импульс не изменяется. Запишем закон сохранения импульса. Допустим, что в некоторый момент времени ракета массы m движется со скоростью (в инерциальной системе отсчета). За последующий элементарно малый промежуток времени ракетный двигатель выбросит массу газов реактивной струи со скоростью (в той же инерциальной системе). Скорость газов реактивной струи направлена против скорости ракеты. Масса ракеты уменьшится на величину

. (24)

Импульс реактивной струи изменяется только за счет массы газов, выброшенных двигателем - ( . Импульс ракеты изменяется как за счет изменения ее массы так и за счет изменения ее скорости

На основании закона сохранения импульса суммарное изменение импульса равно нулю:

. (25)

В принятой инерциальной системе отсчета скорость газов реактивной струи определяется как скоростью движения ракеты , так и скоростью истечения газов реактивного двигателя относительно тела ракеты :

. (26)

Проектируя это векторное равенство на направление движения реактивной струи, имеем

Откуда ясно, что величина скорости реактивной струи (в инерциальной системе отсчета) меньше скорости истечения газов на величину скорости движения самой ракеты. Осуществив подстановку соотношений (24 и 26) в формулу (25), и проведя сокращения получим:

. (27)

Спроектируем последнее соотношение на направление движения ракеты:

или . (28)

Скорость истечения газов реактивной струи относительно ракеты величина постоянная, т.е. . Тогда, проводя интегрирование в формуле (28) по скорости ракеты от до и по массе от М₀ до М, получим формулу Циолковского (1903 г.):

где М₀ – начальная масса ракеты (включая ракетное топливо на борту); М – масса ракеты, когда ее скорость достигает величины ; и – скорость истечения реактивных газов относительно ракеты; – скорость ракеты до включения ракетного двигателя.

Из формулы Циолковского ясно, что, чем больше скорость истечения газов реактивной струи ракетного двигателя относительно ракеты и, тем большую скорость может приобрести ракета.

Поделим обе части соотношения (27) на , в результате чего получим

В правой части последнего выражения стоит произведение массы ракеты на ускорение, т.е. сила, действующая на ракету. В левой части выражения стоит сила, вызывающая ускорение ракеты. Силу, вызывающую ускорение ракеты, называют реактивной силой. Следовательно, реактивная сила

Если, кроме реактивной силы, на тело ракеты действует также некоторая внешняя сила (например, сила тяжести), то в уравнении движения ракеты она добавляется к силе, развиваемой ракетным двигателем:

Это уравнение было получено Мещерским (1897 г.) и носит его имя.

Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулируйте закон сохранения энергии в механике.

2. Сформулируйте закон сохранения и превращения энергии.

3. Сформулируйте закон сохранения импульса.

4. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

5. Из ствола орудия массой 2000 кг вылетает снаряд массой 20 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете равна 10⁷ Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?

6. Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижным телом такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество тепла, выделившееся при ударе.

7. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 100 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 60°.

8. Ленточным транспортером, который потребляет мощность 10 кВт, разгружают баржу с углем на пристань, высота которой 2, 5 м. Считая кпд равным 75 %, определить, сколько тонн угля можно разгрузить за 20 мин.

9. Ядерный реактор, работая в непрерывном режиме развивает мощность 1000 МВт. Допуская, что пополнение ядерного топлива в течение года не производят, определить на сколько уменьшилась масса ядерного топлива за год работы реактора.

10. Ракета стартует с поверхности Земли. Масса ракеты m = 2000 кг. Ракетный двигатель выбрасывает реактивную струю со скоростью 3 км/с и расходует 50 кг/с ракетного топлива (включая окислитель). Какую подъемную силу обеспечивает этот ракетный двигатель? Какое ускорение ракеты при старте обеспечивает этот двигатель?

11. Ракета в космосе (вдалеке от планет) разгоняется ракетным двигателем. На какую величину увеличится скорость ракеты, если при включении двигателей ее масса была М₀ = 3000 кг, а после выключения двигателей М = 1000 кг. Скорость реактивной струи двигателя относительно ракеты v = 3 км/с. Двигатель работал 1, 5 мин; какую перегрузку испытывали космонавты на борту этой ракеты в начальный момент работы ракетного двигателя?

12. Найти изменение кинетической энергии изолированной системы, состоящей из двух шариков с массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг, при их неупругом лобовом (центральном) столкновении. До столкновения они двигались с противоположно направленными скоростями v₁ = 1 м/с и v₂= 0, 5 м/с. Какая скорость будет у шариков после столкновения? Какая энергия выделяется в виде тепла во время столкновения?

Всемирное тяготение

Законы Кеплера

Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили, наряду с законами динамики, носящими его имя, три открытых Кеплером (1571-1630) закона движения планет:

т₁

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к конкретной планете, отсекает, за равные промежутки времени, равные площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей эллипсов их орбит.

Третий закон Кеплера можно записать в следующей форме:

где T₁и T₂ – периоды обращения двух конкретных планет; R₁ и R₂ – большие полуоси соответствующих эллипсов.

Закон всемирного тяготения

Получим закон всемирного тяготения теоретически, исходя из законов Кеплера и законов динамики Ньютона. Заметим, прежде всего, что окружность является частным случаем эллипса, причем радиус окружности равен соответствующей полуоси эллипса. Ввиду этого и для упрощения задачи, рассмотрим гипотетическую планетарную систему, т.е. систему, где все планеты движутся по круговым орбитам, в центре которых находится Солнце (тем самым будет использован первый закон Кеплера).

Согласно второму закону Кеплера, радиус-вектор конкретной планеты, отсекает, за равные промежутки времени, равные площади, что выполняется, если величина скорости движения конкретной планеты по круговой орбите есть величина постоянная (тем самым использован второй закон Кеплера).

Если планета движется по круговой орбите с постоянной скоростью, то на нее должна действовать центростремительная сила со стороны Солнца. Рассмотрим две планеты, движущиеся по круговым орбитам с радиусами R₁и R₂. Центростремительные силы, действующие на них, будут равны:

; ,

где т₁; т₂; ; – массы и скорости соответственно первой о второй планет.

Написанные соотношения для центростремительных сил выражают II закон Ньютона.

Определим теперь отношение сил:

. (29)

Заметим далее, что скорости планет определяются их периодами обращения вокруг Солнца и радиусами орбит:

; .

Подставив последние выражения в соотношение (29) после сокращений получим

По третьему закону Кеплера: . Откуда после подстановки и сокращений имеем:

Собирая все величины, касающиеся первой планеты в левой части равенства, а второй в правой, получим:

Или для любой планеты .

Полагая, что const пропорциональна массе Солнца, получим для силы притяжения между планетой и Солнцем:

где М – масса Солнца.

Откуда следует, что между любыми двумя телами, обладающими массами, должна действовать сила взаимного притяжения.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными телами (материальными точками) действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих тел (М₁ и М₂) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r²):

где G–гравитационная постоянная, G = 6, 6720 × 10^–11 H× м²/кг².

Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 13 14 15 16 17 18 Следующая