Неинерциальные системы отсчета

Классические законы механики Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Однако встречаются задачи, для которых движение тел задается в системах, жестко связанных с телами, на которые действуют силы, т.е. в неинерциальных системах отсчета. Рассмотрим вначале конкретный пример. Допустим автобус, подходя к остановке, тормозит. Пассажиры автобуса при этом увлекаются по направлению к кабине шофера, хотя их никто не толкает (нет внешней силы, действующей на пассажиров). Таким образом, для того чтобы правильно рассчитывать движение пассажиров по отношению к стенкам автобуса (неинерциальная система отсчета), необходимо во второй закон Ньютона ввести добавочное слагаемое, т.е. добавочную силу, которая будет учитывать ускоренное движение пассажиров по отношению к стенкам автобуса. Это слагаемое называют силой инерции:

где – сила инерции; – ускорение системы отсчета (автобуса).

Второй закон Ньютона в ускоренно движущейся системе отсчета тогда будет:

или в развернутом виде

где – сила, действующая на тело со стороны других тел; – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета; – ускорение системы отсчета. Силу инерции необходимо учитывать, только в том случае, если расчеты производятся в системе отсчета движущейся ускоренно.

Рассмотрим теперь вращающуюся систему отсчета. Допустим, что некоторое тело в этой системе отсчета неподвижно, т.е. вращается вместе с системой отсчета, двигаясь по круговой траектории. Так как тело неподвижно в неинерциальной системе отсчета, то необходимо считать, что сумма всех сил, действующих на это тело в этой системе, равна нулю. Но это означает, что во вращающейся системе отсчета необходимо ввести силу, которая скомпенсирует центростремительную силу. Эту силу называют центробежной. Численно центробежная сила равна центростремительной и направлена в противоположную сторону. Формула для центробежной силы

где w – угловая скорость вращения системы отсчета; – радиус вектор, проведенный от оси вращения в точку расположения тела. Подчеркнем еще раз: центробежную силу необходимо учитывать, только в том случае, если расчеты производятся во вращающейся системе отсчета.

Допустим теперь, что тело движется во вращающейся системе отсчета с некоторой постоянной скоростью . Тогда, кроме центробежной силы, необходимо учитывать так называемую силу Кориолиса. Сила Кориолиса равна:

где – векторное произведение скорости тела во вращающейся системе координат и угловой скорости вращения этой системы.

Таким образом, в общем случае, когда система отсчета движется ускоренно и кроме этого вращается, а также изучаемое тело в этой системе движется со скоростью , уравнение движения необходимо записать в следующем виде:

или более подробно:

где – сила, действующая на изучаемое тело со стороны других тел; – ускорение системы отсчета; – угловая скорость вращения системы отсчета; – скорость тела в неинерциальной системе отсчета; – ускорение тела, измеренное в неинерциальной системе отсчета.

Контрольные вопросы и задачи

Рис.17

1. На рис.17 изображены тела, составленные из одинаковых однородных по плотности треугольных тонких пластин. Указать фигуры с минимальным и максимальным моментами инерции относительно оси ОО₁.

2. Напишите формулу, определяющую момент инерции твердого тела относительно заданной оси вращения.

3. Какова размерность момента инерции в системе СИ?

4. Зависит ли момент инерции твердого тела: а) от момента приложенных к телу сил; б) от выбора оси вращения; в) от формы тела; г) от массы тела; д) от углового ускорения?

5. Маховик изготовлен в виде диска радиуса R = 1 м и массы М = 2 т, вращается вокруг оси своей симметрии с частотой 3 Гц. Найти кинетическую энергию, запасенную во вращении этого маховика.

6. Цилиндр радиуса R = 10 см и массы m = 15 кг скатывается без скольжения с наклонной плоскости высоты h = 70 см. Найти скорость цилиндра после скатывания с наклонной плоскости. Найти кинетическую энергию поступательного и вращательного движений цилиндра после скатывания.

7. Какой вращающий момент сил был приложен к цилиндру, укрепленному на оси, совпадающей с его осью симметрии, если радиус цилиндра R = 10 см, масса m = 20 кг и вращающий момент сумел раскрутить цилиндр до частоты вращения n = 40 Гц, за время t = 10 с?

8. Найти момент инерции цилиндра радиуса R = 10 см и массы М = 20 кг, относительно оси, касающейся его поверхности.

9. Малое по размерам тело находится на горизонтально расположенном плоском диске. Диск приводят во вращение вокруг его оси симметрии. Коэффициент трения тела о поверхность диска μ =0, 1. Расстояние тела от оси вращения l =20 см. При какой частоте вращения диска тело не сможет удержаться на диске?

10. Самолет выполняет «мертвую петлю» Нестерова. Радиус петли R = 150 м. Скорость самолета в верхней части петли v = 320 км/ч. Какую перегрузку (в единицах ускорения свободного падения) испытывает летчик в этой точке?

11. Тонкая балка массой М = 2 т и длиной l₀=10 м лежит горизонтально на двух опорах. Одна из опор расположена на расстоянии l₁=3 м от одного из концов балки; вторая поддерживает другой конец балки. Какие силы испытывают опоры, удерживая балку?

12. Какую силу нужно приложить к одному из концов горизонтально лежащего на земле столба, чтобы начать его подъем, если масса столба m = 600 кг и длина l =6 м. Подъемная сила приложена перпендикулярно земле.

13. Вертикально стоящий деревянный столб высотой h =6 м и массы m =300 кг подпилили у основания, что вызвало его падение. С какой скоростью будет двигаться вершина столба в момент падения на землю?

14. Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления шоссе в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?

15. Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиуса R =2, 0 м. Найти боковое давление воды, вызванное центробежной силой. Диаметр трубы d =20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает m = 360 т воды.

16. Поезд массой 3000 т идет с севера на юг со скоростью 144 км/ч. Движение происходит на 60° северной широты. В каком направлении действует на поезд сила Кориолиса и чему она равна?

17. Точка находиться на ободе колеса R = 0, 5 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью v = 1 м/с. Определить модуль и направление ускорения верхней точки обода колеса.

18. С какой силой прижимает пассажира самолета к спинке кресла при взлете самолета, если ускорение самолета а_i = 15 м/с, а масса пассажира m = 70 кг?

19. Тонкая однородная пластинка (масса пластины равна 2, 1 кг) имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов. Длины катетов равны 620 мм.

Законы сохранения

Закон сохранения энергии

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 11 12 13 14 15 16 Следующая