Момент силы. Момент импульса

Моментом силы относительно точки О называется вектор равный:

,

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения внешней силы ; – векторное произведение и .

Направление момента силы связано с направлением и правилом правого винта.

Величина момента силы определяется выражением:

,

где a – угол между направлениями векторов и .

Размерность момента силы Н× м = кг*м²/с².

Момент силы относительно оси .

Рассмотрим теперь тело, закрепленное в двух неподвижных точках О и О₁ так, что тело может вращаться только вокруг оси, проходящей через эти точки (рис.15).

Рис.15

Пусть ось вращения совпадает с осью Z системы отсчета. Допустим, что момент силы направлен произвольным образом по отношению к оси вращения. Тогда вектор можно разложить на составляющие M_x, M_y, M_z, каждая из которых будет стремиться повернуть тело соответственно вокруг осей x, y, z. Составляющие момента M_x и M_y будут компенсироваться моментами сил реакции, возникающих в точках закрепления оси вращения. Поэтому вращение будет происходить только под действием составляющей M_z.

Составляющая вектора момента силы , направленная вдоль оси вращения, называется моментом силы относительно этой оси.

Строго говоря, момент силы относительно оси является скалярной величиной, так как является проекцией вектора момента силы на направление оси вращения. Однако, часто бывает удобно рассматривать его, как вектор, который направлен по оси вращения и может иметь только два направления, соответствующих вращению по или против часовой стрелки. Если момент силы вызывает вращение тела по часовой стрелке, то он считается положительным, если против – то отрицательным.

Величина момента силы относительно оси вращения равна

,

где – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила).

Определим теперь момент импульса твердого тела относительно оси вращения. Для этого рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной в пространстве оси вращения. Разобьем тело на малые элементы и пронумеруем их от i до N. Масса некоторого элемента с номером i будет Dm_i. Каждый элемент тела двигается по окружности радиуса r_i и его скорость равна r_iw, где w – угловая скорость вращения. Величина импульса этого малого элемента равна произведению (где Dт_i, - масса элемента тела, v_i = r_iw - скорость элемента тела). Момент импульса этого малого элемента равен произведению импульса на его плечо. Плечом импульса малого элемента является радиус окружности, по которой он движется, т.е. r_i. Поэтому момент импульса малого элемента твердого тела будет: .

Суммируя моменты импульсов всех элементов тела, получим момент импульса твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения:

.

Постоянную величину w можно вынести за знак суммы, тогда:

.

Сумма, стоящая в последнем выражении , является моментом инерции твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения, поэтому:

.

И окончательно, учитывая векторный характер угловой скорости и момента импульса, имеем:

.

Из последнего выражения ясно, что момент импульсатвердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения это векторная величина, модуль которой измеряется произведением момента инерции твердого тела относительно оси вращения на величину угловой скорости вращения. Направление момента импульса твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения совпадает с направлением угловой скорости

Основное уравнение динамики вращательного движения

Твердого тела

Рис.16

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной в пространстве оси вращения ОО (рис.16). Разобьем все тело на элементарные массы Dm_i. В общем случае к каждой элементарной массе может быть приложена некоторая внешняя сила . Составляющая силы , вызывающая вращение должна быть направлена по касательной к окружности, по которой движется элементарная масса. Остальные две составляющие внешней силы вызывают либо деформацию фиксированной в пространстве оси вращения, либо определяют нагрузку на опоры оси вращения, но вращения не вызывают. Обозначим равнодействующую всех внешних сил приложенных к некоторой элементарной массе Dm_i и вызывающих вращение через (рис.16). Внутренние силы, действующие между элементарными массами твердого тела, учитывать не будем, так как при последующем суммировании, как сами силы, так и их моменты взаимно сокращаются (III закон Ньютона! ).

По второму закону Ньютона, имеем:

, (18)

где , – линейное ускорение и радиус-вектор элементарной массы; e – угловое ускорение вращения тела, как единого целого ( ).

Умножим обе части (18) на r_i:

.

Так как F_ir_i = DМ_i по определению является моментом силы, действующим на элемент массы Dm_i относительно заданной оси вращения, то следовательно:

.

Суммируя по всем элементарным массам, на которое разбито тело, получим:

.

Величина суммы – это момент инерции тела относительно заданной оси вращения, поэтому последнее выражение можно записать в следующей форме:

, (19)

где – проекция на заданную ось вращения суммарного момента внешних сил, действующих на твердое тело; e – величина углового ускорения.

Напомним, что момент сил относительно заданной оси вращения, является проекцией вектора момента сил на ось вращения. Поэтому, в общем случае, когда ось вращения не фиксирована в пространстве, вращение вызывается не одной проекцией момента сил, а всеми тремя проекциями, т.е. вектором момента сил . Поэтому, уравнение (19) можно записать в следующей форме:

. (20)

Добавочно напомним, что момент инерции твердого тела I в общем случае зависит от пространственного положения оси вращения.

Уравнение (20) является основным уравнением динамики вращательного движения . По форме оно сходно с уравнением II закона Ньютона и его иногда называют вторым законом динамики для вращательного движения.

Основное уравнение вращательного движения может быть дано и в иной математической редакции. Для этого вспомним, что угловое ускорение определяется производной от угловой скорости по времени: . После подстановки в (20) имеем: . Если I-const, то внося величину I под знак производной, получим:

.

Выражение, стоящее в скобках является моментом импульса твердого тела и поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела можно записать еще в одной математической редакции:

. (21)

 

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. А.1 Понуждение к действиям сексуального характера окончено с момента
2. Анализ графика подъёмной силы.
3. В зависимости от момента формирования делятся на
4. В замкнутой системе момент импульса не изменяется со временем
5. В землянку, вместе с волной сырого воздуха, вошла медсестра Таня. Ее появление моментально всколыхнуло тишину в землянке: Таня «по совместительству» разносила письма и газеты.
6. В каждый отдельный момент я должен делать самое продуктивное действие, которое только возможно.
7. Версия - ключевой момент в нейтрализации последствий ЧП
8. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
9. Вопрос №6 Масса, импульс, сила. Второй закон Ньютона для материальной точки. Единицы силы, массы и импульса.
10. Вычисление момента инерции маятника Максвелла
11. Главный вектор и главный момент
12. Динамика вращательного движения тел вокруг неподвижной оси: момент силы относительно оси, плечо силы, момент инерции точечного тела и системы тел, основной закон динамики вращательного движения.