Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу

 

Предположим, что материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами:

x = А₁cos(wt + a₁); y = А₂cos(wt + a₂).

Траектория результирующего колебания будет зависеть от разности фаз складываемых колебаний.

В общем случае траектория колеблющейся точки – эллипс:

. Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) a₂ -a₁= ± k× p, то эллипс становится отрезком прямой. (k – целое число);

2) a₂-a₁ =( k× p ± p/2) и А₁ = А₂, то эллипс превращается в окружность (k – целое число);

3) в общем случае, при произвольном соотношении фаз и амплитуд, отличном от приведенных выше, траектория – эллипс.

Если взаимно-перпендикулярные колебания происходят с различными частотами, то в результате сложения получаются траектории более сложной формы, называемые фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот, разности фаз складываемых колебаний и от амплитуд колебаний что используется на практике для измерения этих величин.

 

Затухающие колебания

Вследствие сопротивления движению колебательная система непрерывно отдает часть своей энергии среде. При убывании энергии колебаний уменьшается и амплитуда колебаний, т.е. колебания затухают.

Рассмотрим случай, когда материальная точка совершает прямолинейное колебание под действием упругой силы, двигаясь в вязкой среде. При малых скоростях в вязкой среде сила трения пропорциональна скорости v:

,

где r – коэффициент сопротивления.

Кроме этой силы действует упругая сила (закон Гука)

.

Результирующая сила равна сумме упругой силы и силы трения.

Следовательно, уравнение движения (по II закону Ньютона) имеет вид:

; .

Введем обозначения:

.

где b – коэффициент затухания (b > 0); w₀ – частота колебаний этой же системы в отсутствии затухания. Уравнение затухающих колебаний с учетом введенных обозначений будет иметь следующую форму:

.

Общее решение этого уравнения может быть записано в следующем виде:

,

где – амплитуда затухающих колебаний.

Как видно из последней формулы, амплитуда колебаний с течением времени уменьшается и темп уменьшения определяется коэффициентом затухания .

Величина является циклической частотой затухающих колебаний; w₀ – циклической частотой колебаний этой же системы в отсутствии трения (циклическая частота собственных колебаний).

На рис.24 представлен график затухающих колебаний.

Рис.24

Для характеристики степени затухания колебаний используют не только коэффициент затухания , но и другие величины:

1) логарифмический декремент затухания;

2) время релаксации колебаний;

3) добротность системы.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух значений последовательных амплитуд:

,

где Т – период колебаний.

Связь между логарифмическим декрементом затухания, коэффициентом затухания и периодом колебаний

l = bT.

Время релаксации – это время, в течение которого амплитуда убывает в e раз (е – основание натуральных логарифмов),

.

Из последнего соотношения получим bt = 1, т.е. коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени релаксации.

При практическом использовании колебаний важно, чтобы колебания затухали по возможности медленно. Величину, которая характеризует это свойство, называют добротностью. По определению добротность

.

Рассмотрим теперь важный для практики режим затухающих колебаний, когда b = w₀. В этом случае и движение становится апериодическим. Этот режим называется критическим, а – критическим сопротивлением.

На рис.25 представлен график апериодического движения.

Рис.25

Критический режим затухающих колебаний используется, например, в демпферах амортизационных систем автомобилей для уменьшения тряски при движении; в стрелочных электроизмерительных приборах для уменьшения амплитуды колебаний стрелки прибора при измерениях и в ряде других случаев.

Предыдущая45678910111213141516171819Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. Вычисли и замени, где возможно сложение умножением.
2. Вычисли, заменяя, где возможно, сложение умножением.
3. Гармонические колебания. Скорость и ускорение гармонических колебаний. Энергия гармонических колебаний
4. Исчисление и сложение различных наказаний
5. Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи значительно меньше периода колебаний.
6. Колебательное движение. Характеристики колебаний.
7. Понятие комплексного числа (КЧ). Сложение и умножение КЧ, свойства операций.
8. Свободные гармоничесие колебания. Колебания с одной степенью свободы. Сложения колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу.
9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
10. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
11. Сложение дисперсий изучаемого признака.