Связь между потенциальной энергией и силой

Определим теперь функциональную связь между потенциальной энергией и силой. Для этого рассмотрим элементарно малое конкретное перемещение, в поле консервативных (потенциальных) сил. Работа перемещения совершается за счет уменьшения запаса потенциальной энергии тела, и поэтому элементарно малая работа перемещения , как это определено формулой (10) и элементарно малое изменение потенциальной энергии противоположны по знаку:

= – .

В последнем соотношении использованы частные дифференциалы, так как рассматривается конкретное (частное) перемещение по определенному направлению.

С другой стороны, работа перемещения равна:

(величина является проекцией силы на направление перемещения ). Проведя сравнение последних выражений получим:

. (12)

Следовательно, проекция силы на некоторое конкретное направление численно равна частной производной от потенциальной энергии по этому направлению взятой с обратным знаком. Формула (12) позволяет получить общее выражение для вектора силы. Для этого, выберем в качестве конкретного направления перемещение вдоль оси «x» декартовой системы координат. В этом случае координаты «y» и «z» будут постоянны, а соотношение (12) необходимо записать в следующем виде:

где – проекция силы на ось «x», – частная производная от потенциальной энергии по координате «x». Аналогично для проекций на другие оси получим и .

Теперь вектор силы можно выразить через его проекции:

где – орты осей декартовой системы координат. Последнее выражение можно записать короче, для этого используется оператор градиента (grad), который является сокращенной записью выражения стоящего в фигурной скобке:

Это соотношение является общим выражением связи между силой, действующей на тело, и потенциальной энергией этого же тела в консервативных системах.

Сила трения

Силы трения весьма разнообразны. Так, например, силы трения возникают при движении одного тела по поверхности другого. Силы трения возникают также, если тело имеет форму шара или цилиндра и перемещается за счет качения. В этом случае говорят о трении качения. Если тело движется в жидкости или газе то также возникают силы трения, препятствующие движению тела. Эти силы зависят от формы, размеров и скорости движения тела по отношению к среде. Если в жидкости или в газе два соседних слоя двигаются с разными скоростями, то между ними также действует сила трения. В этом случае явление называется внутренним трением.

Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки между ними, например, смазки, называют сухим трением.

Далее рассматривается только сухое трение. Другие силы трения рассматриваются в последующих разделах курса физики.

В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одного тела по поверхности другого, но также при попытках вызвать такое скольжение (т.е. при попытке сдвинуть тело с места). Иначе говоря, если приложенная к телу сила меньше некоторой величины, то движение вызвать невозможно. Силу, действующую между поверхностями соприкосновения в этом случае, называют силой трения покоя. Если величина приложенной к телу силы больше этой величины, то возникает скольжение тела по поверхности другого тела. Сила трения, если тело движется, направлена противоположно скорости тела. Как следует из экспериментальных исследований, величина силы трения в этом случае практически не зависит от скорости тела и площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от силы, с которой трущиеся поверхности «прижимаются» друг к другу и от свойств самих поверхностей (например, шероховатости). Движущееся тело «прижимается» силой нормального давления, т.е. силой с которой движущееся тело действует на поверхность того тела, по которому происходит скольжение. Термин – нормальное давление подчеркивает то обстоятельство, что эта сила нормальна (перпендикулярна) поверхности скольжения. По III закону Ньютона и поверхность скольжения, действует на движущееся тело с такой же по величине и противоположно направленной силой. Эта сила называется реакцией опоры. Поэтому величина силы трения равна:

F_тр = mN,

где m – коэффициент трения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей; N – реакция опоры Отметим еще раз, что последняя формула определяет только величину силы трения, но не направление силы трения, которое всегда противоположно скорости движения тела.

В качестве примера рассмотрим соскальзывание тела массы m с наклонной плоскости с углом при основании α (рис.8). На тело действуют три силы: сила тяжести , сила трения и сила реакции опоры . Результирующая этих трех сил согласно II закону Ньютона вызывает движение тела с ускорением вдоль наклонной плоскости:

Рис.8

Проекции векторов на оси координат, указанные на рис.8, дают два уравнения:

Из второго уравнения определяем реакцию опоры и затем величину силы трения:

Первое уравнение позволяет рассчитать ускорение тела:

При малых углах наклона a тело будет оставаться неподвижным. Для этого необходимо чтобы:

Таким образом, при тело будет неподвижным на наклонной плоскости, т.е. сила трения покоя в этом случае достаточна, чтобы удержать тело и не позволить ему соскальзывать с наклонной плоскости.

Центр масс твердого тела

Рассмотрим твердое тело произвольной геометрии и распределения масс. Разобьем мысленно тело на малые (не обязательно одинаковые) элементы и пронумеруем их. Допустим, что к некоторому элементу тела с номером i и массой Dm_i приложена внешняя сила и кроме этого действуют внутренние силы со стороны остальных элементов тела . Под воздействием результирующей всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу тела, будет происходить движение в соответствии со II законом Ньютона:

где – сумма всех внутренних сил, действующих на элемент c номером i со стороны всех остальных элементов тела;

–масса и ускорение элемента тела с номером i.

Проведем суммирование по всем элементам тела. При суммировании внутренние силы взаимно сокращаются, так как всякой силе, действующей на элемент тела i со стороны элемента j, согласно III закону Ньютона, имеется равная и противоположно направленная сила, действующая на элемент j со стороны элемента i. Сумма всех внешних сил (результирующая сила) будет равна:

. (13)

Рассмотрим теперь точку, радиус-вектор которой

где M – масса всего тела. Назовем эту точку центром масс тела. Смысл этого термина выясняется ниже.

Дважды продифференцируем последнее выражение по времени:

. (14)

Из сравнения (13) и (14) следует, что

Так как , является ускорением центра масс тела, то последнее соотношение означает, что центр масс движется в соответствии со II законом Ньютона, причем движение происходит так, как если бы вся масса тела была сосредоточена в точке центра масс.

Рассмотрим теперь замкнутую (изолированную) систему тел. В замкнутой системе (сумма всех внешних сил равна нулю), поэтому центр масс будет либо двигаться прямолинейно и равномерно либо оставаться в покое. Внутренние силы, при этом, между отдельными частями системы могут и не равняться нулю, но как только что было показано, они не могут повлиять на движение центра масс, но влияют на движение отдельных тел, составляющих систему.

Заметим также, что вместо термина «центр масс» иногда используется термин «центр инерции».

В ряде случаев задача отыскания положения центра масс может быть упрощена. Так, например, если рассматривается движение твердого тела, обладающего тем или иным типом симметрии, то можно указать на пространственное положение центра масс и без детальных расчетов. Приведем некоторые примеры: - центр масс однородного по плотности шара совпадает с его центром; центр масс тонкого однородного по плотности стержня расположен на его середине; три материальные точки одинаковой массы, расположенные в вершинах жесткого равностороннего треугольника имеют центр масс в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника и т.д.

Решение задач по определению положения центра масс некоторого тела может быть упрощена, если находить отдельно все три проекции радиус-вектора центра масс.

В качестве примера, рассмотрим два шара массами m₁и m₂ находящимися на фиксированном расстоянии l друг от друга и найдем центр масс этой системы (рис.9). Каждый шар можно рассматривать как материальную точку с массой, расположенной в его центре.

Рис.9

Направим ось X вдоль прямой проходящей через центры шаров, а начало координат поместим на расстоянии а от левого шара. Тогда координату X_c центра масс можно записать в виде:

Если поместить начало координат в центр первого шара (т.е. положить а = 0), то выражение для X_c будет иметь более простой вид

В частном случае, когда m₁ = m₂, Х_с = l/2, т.е. для одинаковых шаров центр масс будет находиться в точке, расположенной посередине между шарами.

Контрольные вопросы и задачи

1. Как формулируется первый закон Ньютона?

2. Сформулируйте второй закон Ньютона и напишите его формулу.

3. Сформулируйте третий закон Ньютона и напишите его формулу.

4. Какая физическая величина называется импульсом силы? Напишите формулу, определяющую импульс силы. В каких единицах системы СИ измеряется импульс силы?

5. Какая физическая величина называется импульсом тела? Напишите формулу, определяющую импульс тела. В каких единицах системы СИ измеряется импульс тела?

6. Как связана элементарная работа с вектором силы и вектором элементарного перемещения ? В каких единицах в системе СИ измеряется работа?

7. Какая физическая величина называется мощностью? В каких единицах в системе СИ измеряется мощность?

8. Что называется консервативной физической системой? Какими свойствами обладает консервативная система?

9. Построить график зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии камня массой в 1 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 9, 8 м/с, для промежутка времени 0-1 с через каждые 0, 2 с.

10. Тело массой 1 кг двигается по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения m = 0, 1. Чему равна сила трения, действующая на тело? (ускорение свободного падения принять равным 10 м/с²)

11. Железнодорожный составмассы М = 3000 т. двигается с постоянной скоростью v = 72 км/ч. Коэффициент трения равен 0, 01. Чему равна сила тяги локомотива? Какую мощность развивает локомотив?

12. Цепочка массы m = 2 кг и длины l = 2 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

15. Лодка находиться далеко от берега озера. Человек массы m = 70 кг перешел с носа лодки на корму. Длина лодки l = 5 м; масса лодки 210 кг. На какое расстояние при этом переместилась лодка?

16. Найти положение центра масс системы, состоящей из малых по размерам трех тел. Два из них имеют массы по m = 2 кг и находятся на расстоянии 60 см друг от друга. Третье тело имеет массу m = 4 кг и находится на расстоянии 50 см от каждого из первых двух.

17. Клеть шахтного ствола (шахтная клеть является разновидностью лифта), массой 3 т, поднимается с постоянной скоростью на высоту 200 м. Коэффициент полезного действия подъемного механизма 80 %. Время подъема составляет 3 мин. Чему равна работа, совершаемая подъемным механизмом и чему равна мощность, потребляемая подъемным механизмом?

18. Вагонетку массы 1, 5 т. при буксировке тянут горизонтально с постоянной скоростью 5 м/с. Натяжение троса равно 19, 5 кН. Какая работа совершается при перемещении вагонетки на расстояние 1, 5 км? Определить коэффициент трения и мощность, развиваемую при буксировке.

19. Для погрузки угля в вагоны применяется ленточный транспортер, который перемещает уголь вверх по наклону на высоту 5 м. В минуту погрузчик доставляет 12 т угля к товарным вагонам. Какую работу совершает транспортер за 5 мин.?

20. Вагон с углем, имеющий массу 40 т, движется со скоростью 2 м/c навстречу к неподвижному вагону такой же массы и сталкивается с ним. Определить максимальное сжатие пружины буферов вагонов, считая деформацию пружины упругой, если известно, что под действием силы F = 200 кН сжатие пружины составляет 1 см.

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая