Основы применения экономико-статистического моделирования

Моделирование динамики

Временной ряд − это последовательность значений признака во времени, в котором на каждое последующее значение имеет влияние прошлое состояние изучаемого явления.

Во временном ряду тип связи можно определить исходя из отклонений эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда. Компоненты временного ряда различно воздействуют на величину уровней ряда:

− если факторы, образующие компоненты временного ряда имеют мультипликативную связь, то значения уровней являются произведением этих компонентов:

;

− если факторы связаны аддитивно, то значения уровней временных рядов являются суммой компонентов:

;

− если факторы временного ряда выражены комбинированно, то значения уровней являются или произведением, или суммой компонентов:

где − уровни временного ряда;

− трендовая составляющая;

− сезонная компонента;

− циклическая компонента;

− случайная компонента.

Выявление основной тенденции развития - это один из методов анализа и обобщения временных рядов. Поэтому следует различать понятия:

− основная тенденция;

− тренд;

− закон развития явления.

Тренд − это некоторая аналитическая функция, которая описывает общую тенденцию развития явления на базе лишь одного фактора – фактора времени (t). Тренд не полностью воспроизводит характер тенденции развития и не может рассматриваться как закон развития явления.

Закон развития явления — выражает сущность, природу явления, не поддающуюся описанием тренда.

Временные ряды, в которых можно установить тенденцию и случайный компонент, можно выразить уравнением вида

где − некоторая функция времени, описывающая тенденцию временного ряда, называется трендом;

− случайная величина ( случайный компонент ).

Функция определяет общую тенденцию развития изучаемого явления. Для построения модели и прогноза социально-экономических явлений необходимо осуществить проверку гипотезы о наличии тенденции в исходном временном ряду.

Моделирование тенденции

Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции. Для этой цели наиболее эффективны такие методы как метод Фостера − Стюарта, критерий серий, кумулятивный Т-критерий и фазочастотный критерий знаков разностей отклонений Валлиса и Мура.

Основные подходы к выявлению тенденции основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда.

Наиболее часто в практике анализа временных рядов используются критерии проверки " наличия-отсутствия" тренда: метод Фостера – Стюарта и критерий серий, основанный на медиане выборки.

Гипотеза о наличии тенденции процесса может быть проверена с помощью метода Фостера − Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующих этапов:

1. Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик и :

Таким образом, , если больше всех предшествующих уровней, , если меньше всех предшествующих уровней.

2. Вычисляется для всех .

Величина может принимать значения 0; 1; -1.

3. Рассчитывается характеристика .

4. С помощью -критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд). Для этого определяется

где − средняя квадратическая ошибка величины :

Значения табулированы (таблица 1).

Таблица 1 − Значения стандартных ошибок для для n от 10 до 100


1, 964	2, 509	2, 816
2, 002	2, 561	2, 837
2, 039	2, 606	2, 857
2, 077	2, 645	2, 876
2, 115	2, 681	2, 894
2, 153	2, 713
2, 279	2, 742
2, 373	2, 769
2, 447	2, 793

Расчётное значение сравнивается с критическим значением , взятым из таблицы -распределения Стьюдента. Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Например: Изменение числа родившихся в Хабаровском крае представлено в таблице 2:

Таблица 2 − Число родившихся в Хабаровском крае, чел.

Год	Число родившихся, чел.	Год	Число родившихся, чел.
	11 979		15 410
	12 400		15 558
	13 615		16 303
	14 453		17 067
	15 392		17 573
	16 049		17 407

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся с помощью метода Фостера – Стюарта. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Решение

Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта представлены в таблице 3.

Таблица 3 − Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта


11 979	-	-	-	15 410
12 400				15 558
13 615				16 303
14 453				17 067
15 392				17 573
16 049				17 407

1. Если уровень больше всех предшествующих уровней, то в графе ставим 1, если меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе .

2. Определяем для .

3. .

4. Значение для берём из таблицы 1.

Значение берём из таблицы - распределения Стьюдента:

, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. С вероятностью 0, 95 тренд во временном ряду имеет место быть.

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется по следующему алгоритму:

1. Из исходного ряда длиной образуется ранжированный (вариационный) ряд : , где − наименьшее значение ряда .

2. Определяется медиана этого вариационного ряда . В случае нечётного значения , в противном случае

3. Образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:

Если значение равно медиане, то это значение пропускается.

4. Подсчитывается − число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией. Определяется − протяжённость самой длинной серии.

5. Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа A − [A] − это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Например:

Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся (таблица 2) с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. Вспомогательные вычисления представлены в таблице 4.

Таблица 4 − Вспомогательные вычисления для критерия серии


11 979	11 979	-	15 410	15 558	-
12 400	12 400	-	15 558	16 049	+
13 615	13 615	-	16 303	16 303	+
14 453	14 453	-	17 067	17 067	+
15 392	15 392	-	17 573	17 573	+
16 049	15 410	+	17 407	17 407	+

1. От исходного ряда переходим к ранжированному , расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2. Так как (чётное), следовательно, медиана

3. Значение каждого уровня исходного ряда сравнивается со значением медианы. Если , то принимает значение «+», если меньше, то «− ». Если значение равно медиане, то это значение пропускается

4. − число серий;

− протяжённость самой большой серии. Делаем проверку:

Оба неравенства выполняются, следовательно, с вероятностью 0, 95 имеется тренд во временном ряду, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера − Стюарта.

Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и её математического выражения — тренда. Выдвигается основная гипотеза ( ) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчётное значение критерия определяется как отношение накопленной суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от их среднего значения ( ) и самих отклонений по формуле

где − накопленный итог отклонений эмпирических значений от среднего уровня исходного временного ряда;

− общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле: .

Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчёта значений критерия можно использовать нормированное отклонение:

Расчётные значения кумулятивного Т-критерия и сравниваются с табличным . Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. Следовательно, в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если , признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Например: Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае (таблица 5) кумулятивного T-критерия.

Решение

Таблица 5 − Вспомогательные вычисления по методу кумулятивному Т-критерию

Годы	Число действующих строительных организаций,
	1 845	654, 5	428 370, 3	654, 5	428 370, 3
	1 740	549, 5	301 950, 3	1 204, 0	1 449 616, 0
	1 543	352, 5	124 256, 2	1 556, 5	2 422 692, 0
	1 573	382, 5	146 306, 3	1 939, 0	3 759 721, 0
	1 097	-93, 5	8 742, 2	1 845, 5	3 405 870, 0
		-237, 5	56 406, 3	1 608, 0	2 585 664, 0
		-247, 5	61 256, 2	1 360, 5	1 850 960, 0
		-207, 5	43 056, 3	1 153, 0	1 329 409, 0
		-267, 5	71 556, 2	885, 5	784 110, 3
		-313, 5	98 282, 2	572, 0	327 184, 0
		-296, 5	87 912, 2	275, 5	75 900, 3
		-275, 5	75 900, 3
Итого	14 286	-	1 503 995, 0	-	18 419 498, 0

1. Рассчитываем среднюю величину и дисперсию числа действующих строительных организаций:

2. Определяем расчётное значение критерия:

3. Рассчитываем значения критерия:

гипотеза об отсутствии тренда отвергается, следовательно в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае существует тенденция, описываемая трендом.

Фазочастотный критерий знаков разностей Валлиса и Мура также позволяет определить наличие основной тенденции в целом во временном ряду и относится к группе непараметрических методов оценивания тенденции.

Выдвигается основная гипотеза ( ) о том, что знаки разностей между образуют случайную последовательность. При этом формируется понятие фазы как последовательности одинаковых знаков разностей.

Если знаки при определении числа фаз (без 1-й и последней) образуют случайную последовательность, то расчётное значение критерия определяется по формуле

где − фазочастотный критерий разностей;

− число уровней ряда, которое распределено нормально;

− число фаз.

Если расчётное значение ( ) критерия превысит табличное при заданном уровне значимости , то гипотеза о том, что знаки разностей между последовательными уровнями временного ряда образуют случайную последовательность, отвергается. Следовательно, уровни исходного временного ряда не образуют случайную последовательность, а имеют определённую закономерность в их изменении, а следовательно, в ряду существует тенденция.

При больших выборках ( ) поправка на непрерывность может быть опущена и формула расчёта будет следующая:

Если , следовательно, данная последовательность случайна.

Например: Изменение численности экономически активного населения в Хабаровском крае представлено в таблице 6:

Таблица 6 − Численность экономически активного населения в Хабаровском крае, тыс.чел.

Год	Численность экономически активного населения, тыс.чел.,	Знаки отклонений	Нумерация фаз
	752, 9
	765, 2	+
	738, 0	-
	738, 5	+
	752, 2	+
	757, 9	+
	760, 6	+
	774, 4	+
	756, 0	-
	793, 7	+
	771, 3	-
	776, 3	+

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении численности экономически активного населения с помощью метода Фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура. Доверительную вероятность принять равной 0, 95.

Решение

1. Находим знаки отклонений и проставляем нумерацию фаз ( ).

2. Рассчитаем :

, то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, численность экономически активного населения не образуют случайную последовательность, а имеют определённую закономерность в их изменении, а следовательно, в ряду существует тенденция.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒