В школьных учебниках математики

Знания и умения	Учебник
[39]	[40]	[7]	[113]
1. Построение точки на координатном луче по ее координате 2. Сравнение чисел (натуральных и дробных) с помощью координатного луча 3. Иллюстрация действий сложения и вычитания натуральных чисел с помощью координатного луча 4. Построение точки на координатной прямой и нахождение на координатной прямой координат данной точки 5. Сравнение чисел с помощью координатной прямой. Обоснование действий сложения над положительными и отрицательными числами с помощью координатной прямой 6. Построение точки на координатной плоскости и нахождение на координатной плоскости координат данной точки 7. Чтение графиков процессов по картинкам учебника 8. Построение графиков функций и выяснение свойств функций на основе их графического изображения 9. Построение графиков уравнений и систем уравнений. Графическое решение уравнений и их систем 10. Введение координат на плоскости, координаты середины отрезка, расстояния между точками 11. Уравнение прямой и окружности и т.д.	§ 1, п. 5 гл. I, § 1, п. 6; гл. II, § 7, п. 46 гл. II, § 2, § 7, п. 22 гл. I, § 3, п. 2	гл. I, § 1, п. 2 гл. I, § 1, пп.5, 6, 7 и 10 гл. I, § 1, п. 10 гл. II, § 5, пп. 14, 15, 17 гл. IV, § 16, пп. 40, 41 и др.	§ 8 § 8

Задание 4. Закончите анализ содержания учебного материала по координатному методу в школьных учебниках [7], [8] и [113] с целью: а) выяснения объема и последовательности его изучения и применения в восьмилетней школе; б) выявления связи изложения этого материала в курсе алгебры и в курсе геометрии. Результаты анализа запишите в таблицу (см. табл. 14).

Задание 5. На основе анализа учебного материала учебников выясните, какие знания являются «ядерными» в формировании координатного метода, в каких классах эти знания формируются, какие содержательные связи между ними установлены.

Задание 6. Проанализируйте задачи из § 8 учебника [113] и из гл. II, § 5, п. 10 учебника [8] и выберите по одной наиболее «представительной» математической задаче, эффективно иллюстрирующей все этапы реализации координатного метода в школе.

Напомним основные этапы изучения в школе координатного метода: а) перевод с аналитического языка на графический основного отношения задачи (с графического на аналитический, если задача дана на графическом языке); б) преобразование или исследование объекта на новом языке, более удобном и результативном для изучения объекта; в) перевод результата преобразования или исследования на язык решаемой задачи; г) осмысление полученного результата.

VI. Разработка конкретной методики формирования отдельных компонентов координатного метода в школе.

В формировании координатного метода в школе можно выделить несколько этапов:

1. Усвоение основного понятийного аппарата.

Это усвоение осуществляется в основном в V-VI классах и систематизируется в курсе геометрии, если этот курс активно использует данный метод, как это сделано в учебнике А.В. Погорелова.

2. Введение на основе этого понятийного аппарата уравнений линий и графиков функций.

Две эти учебные задачи решаются в разных предметах (геометрии и алгебре), с разной содержательной целью; поэтому учащиеся часто не видят между ними связи, а значит, и не усваивают главной сути метода.

3. Раскрытие основных этапов применения метода в курсах алгебры и геометрии.

4. Использование координатного метода для решения различных математических задач.

Первый этап из названных наиболее детально разработан в учебниках и не представляет трудности для учащихся.

Задание 7. Разработайте методику использования диафильма Ю. Гладкова «Координатная прямая. Координатная плоскость» (07-3-270) для формирования основного понятийного аппарата координатного метода.

3адание 8. В учебнике [113] в содержательном смысле основной понятийный аппарат координатного метода вводится вновь в VIII классе. Есть ли в этом необходимость? Если есть, то какими приемами актуализировать знания по данному вопросу, полученные в курсе алгебры, и как построить изучение этого вопроса в курсе геометрии? Предложите вариант методики изучения этого вопроса в VIII классе.

Наиболее трудным является второй этап формирования координатного метода. И трудности эти связаны с тем, что в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств как множества точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от двух точек — для прямой и для окружности — от одной).

Строгих обоснований в курсе алгебры, что график прямой пропорциональности есть прямая, не дается. Впервые к этому обращаются в курсе геометрии. Разные учебники эту проблему решают методически по-разному: в одних используется явно подобие, в других — равноудаленность от двух точек, что в конечном счете тоже сводится к подобию, в третьих для частного случая рассматривается биссектриса первого и третьего координатных углов и т.п.

3адание 9. Проанализируйте учебники [6], [2] и [131] по вопросу обоснований того факта, что функции вида где k и b — числа, а х — любое, имеют графиком прямую линию.

Оцените эффективность каждого из вариантов изложения этого материала с учетом связи с курсом геометрии и преемственности с другими вопросами алгебры.

3адание 10. Разработайте методику обобщающего урока на тему «Уравнения линий, изучаемых в школьном курсе математики». В материале урока предусмотрите, где впервые и на каком языке (алгебраическом или геометрическом) вводится каждая из линий (прямая, парабола, гипербола, окружность). Как аргументируется вид каждой линии? Какие ее свойства и на каком языке изучаются? Какие известны приемы перевода каждой из линий с одного языка на другой?

Обстоятельное рассмотрение этого этапа формирования метода дает учащимся в руки ряд приемов, помогающих использовать более эффективно координатный метод.

Третий этап может быть раскрыт на примере двух конкретных задач, аналогичных тем, которые приведены в IV разделе настоящей работы.

3адание 11. На примере задачи «В треугольнике — медиана. Докажите, что .» разработайте методику использования координатного метода для решения задач по геометрии.

3адание 12. Выясните специфику применения координатного метода для изучения векторов в школе.

Итоговое задание. Подберите набор математических задач из курсов алгебры и геометрии, на при мере решения которых можно будет проверить сформированность координатного метода в школе с учетом целей, поставленных в начале лабораторной работы. Выделите основные учебно-познавательные действия, владение которыми учащиеся должны показать при решении этих задач. Разработайте содержательные критерии оценки владения этими действиями и соотнесите их с обязательными результатами обучения по этому вопросу.

Результат выполнения итогового задания может быть представлен к зачету по теме «Координатный метод в школе».

Литература: [19], [20], [47], [84], [10], [11], [93], [114], [125].

Лабораторная работа № 17

Тема. Методика обучения учащихся векторному методу в школьном курсе геометрии.

Цель. Рассмотреть цели изучения векторного метода в школе, выделить основные компоненты решения задач этим методом, рассмотреть понятийный аппарат (перечислить основные понятия, которые должен знать ученик, и основные действия, которыми он должен овладеть) векторного метода решения задач, рассмотреть методику обучения учащихся векторному методу по разным учебным пособиям.

Основное содержание

1. Вектор — одно из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных ее областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ и др.

К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей и т.д.

В методике преподавания математики вектор выступает как связующее звено между метрикой и направлением.

Цели изучения векторного метода в средней школе:

- дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных; так и метрических) и доказательства теорем;

- по казать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике и т.д. - и на базе этого формировать у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение;

- использовать векторный метод при решении задач с целью формирования у учащихся умения выполнять обобщение и конкретизацию;

- формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

2. На занятиях практикума по решению задач векторному методу уделяется большое внимание. В процессе анализа решения некоторой задачи выделяются основные компоненты решения этой задачи векторным методом.

В качестве примера можно рассмотреть решение следующей задачи:

Задача. В треугольной пирамиде DABC плоские углы при вершине D равны по 90°. Боковые ребра АD=6, DB=8, DC=24.Точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние DM.

Решение. Выберем направление осей прямоугольной системы координат так, как показано на рисунке 23, поместив в ее начало вершину D. Пусть М (х; у; z). Выберем базисные векторы . Тогда разложение векторов по базисным запишется так: