Методика формирования векторного метода решения задач

I. Подготовительный этап формирования метода (понятийный аппарат, основные понятия и основные действия) имеется в каждом из рассматриваемых учебных пособий, хотя он и не сосредоточен на каком-либо коротком промежутке времени.

II. На мотивационном этапе можно рассмотреть с учащимися решение следующей задачи:

Задача. В трапеции ABCD углы А и В равны по 90°, а стороны АВ=2, ВС=1, AD=4.·Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

Задача решается несколькими способами и показывается, что векторный метод решения задачи более прост.

1 способ (рис. 24)

что и требовалось доказать.

Задание 4. Разработайте другие способы решения этой задачи, не связанные с использованием векторного метода. Сравните эти способы решения и оцените эффективность каждого.

Задание 5. Решите задачу: «Точки и являются соответственно точками пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD. Доказать разными методами, что : а) векторным; б) координатным; в) традиционным; г) геометрических преобразований. Какой из методов решения этой задачи эффективнее?

Задание 6.

III. На примере решения первой задачи проведите ориентировочный этап, т.е. разъясните суть метода и покажите его основные компоненты:

1) Выясняется, что нужно доказать на геометрическом языке.

- Что для этого достаточно доказать на векторном языке?

- Какую операцию осуществили?

2) Есть ли в условии задачи векторы и ?

- Каким образом можно получить векторы и ?

3) Записывается скалярное произведение векторов.

4) Выполняются преобразования и получается, что .

5) Переводится векторное равенство на геометрический язык.

Показывается, как можно формировать выделенные компоненты векторного метода.

Первое действие, которому необходимо научить учащихся, - это перевод геометрических соотношений на векторный язык. Для формирования умения выполнять это действие целесообразно с учащимися решать задачи типа

1. Точка А принадлежит отрезку ВС. Запишите это соотношение в векторной форме.

2. Прочитайте запись на геометрическом языке . (Точка М принадлежит прямой АВ.)

3. Отрезки АВ и МК параллельны. Запишите это соотношение в векторной форме.

4. Точка С — середина отрезка АВ. Как это соотношение записать в векторной форме?

5. Прямые АС и МР параллельны. Как записать это соотношение в векторной форме? Есть ли разница в записи решений задач 3 и 5? Почему?

6. Запишите в векторной форме условие перпендикулярности прямых АВ и РK.

Решение этих и других подобных задач желательно оформить в виде таблицы в кабинете и первое время ею пользоваться при решении задач векторным методом.

Учащимся показывается наиболее целесообразный выбор системы координат (в том случае, когда это необходимо) и выбор базисных векторов.

Это действие формируется у учащихся с помощью задач:

Найдите угол между векторами и .
Четыре точки заданы своими координатами: А (3; 1), В (1; 4), С (1; 0), D (4; 5). Определите угол между прямым и АВ и CD.

Замечание. В задачах 1 и 2 система координат выбирается произвольно, после чего строятся точки по координатам и условие задачи записывается в векторной форме.

В прямоугольной трапеции МРКС длины сторон МР=4, РК=2, МС=8.Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Не решая задачи, покажите, какая система координат наиболее целесообразна для поиска решения данной задачи.
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, в которой боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α, точка К — середина ребра BS. Найдите угол φ между прямыми АК и SC. Не решая задачу, укажите, какое расположение системы координат наиболее целесообразно для ее решения.
К вершине куба приложены три силы в 1Н, 2Н, 3Н, направленные по диагоналям граней куба, проходящим через эту вершину. Найдите величину равнодействующей этих трех сил.

Самостоятельная работа

1. Проанализируйте пробные учебники по геометрии Л.С. Атанасяна и др. [45], [46], [47] и А.Д. Александрова и др. [17], [18], [19], [20], [16] и ответьте на вопросы:

1) Какова трактовка понятия «вектор», принятая каждым авторским коллективом?

2) Какие элементы векторного аппарата и в каких классах вводятся?

3) Позволяет ли система задач сформировать понятийный аппарат, отдельные компоненты векторного метода и векторный метод решения задач в целом?

2. Пользуясь указанной ниже литературой, подберите системы задач на формирование каждого компонента векторного метода.

Литература: [45], [65], [92], [113], [118], [129], [127].

Лабораторная работа № 18

Тема. Метод геометрических преобразований при изучении математики в школе.

Цели. Выделить характеристические признаки метода геометрических преобразований и рассмотреть особенности его изучения по различным школьным учебникам математики.

План

Метод геометрических преобразований и его использование в школьном курсе математики.
Геометрические преобразования как объект изучения в школе.
Использование метода геометрических преобразований при изучении теоретического материала и решении задач.

Основное содержание

Сущность любого математического метода, в том числе и метода геометрических преобразований, состоит в построении модели одной теории (в нашем случае традиционной евклидовой геометрии) в объектах другой (группы геометрических преобразований). Существенным признаком математической модели является наличие изоморфизма между моделью и моделируемой теорией. Установим наличие указанного изоморфизма между множеством точек и прямых евклидовой плоскости и множеством инволюционных элементов группы движений, т.е. множеством осевых и центральных симметрий. Каждой точке А ставится в соответствие центральная симметрия с центром в данной точке А, каждой прямой а — осевая симметрия с осью а.

Различные отношения между точками и прямыми евклидовой плоскости могут быть интерпретированы с помощью композиций осевых и центральных симметрий. Например, отношение «точка А принадлежит прямой а»соответствует тому, что композиции центральной симметрии относительно центра А и осевой с осью а, осевой относительно прямой а и центральной с центром А представляют собой одно и то же преобразование плоскости, т.е.

Наличие указанного выше изоморфизма и позволяет применять метод геометрических преобразований при решении задач, сформулированных в терминах евклидовой геометрии.

Метод геометрических преобразований в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии (например, конгруэнтности, параллельности и т.д.). При этом его применение обычно предполагает выполнение следующей последовательности шагов:

- выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;

- выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой;

- обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

Выделенные шаги использования метода геометрических преобразований обусловливают необходимость актуализации основных понятий теории геометрических преобразований и свойств (общих и специфических) отдельных видов преобразований и овладение умением строить образы фигур при том или ином преобразовании.

Покажем реализацию выделенной последовательности шагов при решении следующей задачи методом геометрических преобразований:

3адача. На высоте BD треугольника АBC имеется точка К, такая, что АK=KC. Докажите, что треугольник АBC равнобедренный (рис. 25).

В задаче необходимо установить конгруэнтность отрезков АB и BC(или равенство их длин).

Первый шаг состоит в выборе геометрического преобразования, которое обладает свойством сохранять расстояние. Именно это свойство позволит обосновать отношение конгруэнтности между отрезками АВ и BC. В качестве такого преобразования целесообразно выбрать осевую симметрию относительно прямой BD.

Второй шаг состоит в том, чтобы доказать, что при симметрии относительно прямой BD отрезок АВ перейдет в отрезок СВ. Это можно доказать довольно просто. Точка В перейдет сама в себя при выбранной симметрии, так как она является точкой оси симметрии. Точка А перейдет в C при данной симметрии, так как эти точки на перпендикуляре к оси симметрии и АK=CK (К — точка оси симметрии).

Третий шаг — заключительный этап решения задачи. Так как отрезки АВ и СВ симметричны относительно оси BD, а симметрия является перемещением (движением), то длины отрезков АВ и СВ (или BC)равны.

К основным понятиям теории геометрических преобразований можно отнести понятия отображения, преобразования, перемещения (движения), обратного преобразования, способа задания геометрического преобразования, конкретные виды геометрических преобразований.

К общим свойствам геометрических преобразований относятся следующие:

- композиция перемещений (движений) есть перемещение (движение);

- преобразование, обратное перемещению (движению), есть перемещение (движение);

- при перемещении (движении), а также при преобразовании подобия прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки; при указанных преобразованиях сохраняются углы между полупрямыми.

- при перемещении (движении) точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Выделяются специфические свойства каждого из конкретных видов геометрических преобразований (осевой и центральной симметрий, поворота, параллельного переноса, гомотетии, преобразования подобия), рассматриваемых в школьном курсе математики.

Для каждого вида преобразования актуализируется способ построения образа фигуры при соответствующем преобразовании.

Геометрические преобразования в школе рассматриваются, во-первых, как объект изучения и, во-вторых, как основной инструмент метода.

В систематическом курсе геометрии изучаются преобразования фигур на плоскости и в пространстве. При этом преобразование фигуры понимается как ее смещение. Среди преобразований выделяются движения и преобразование подобия. Рассматриваются частные виды движении: осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос. Частным видом преобразования подобия является гомотетия.

Выделим основные понятия и свойства, связанные с частными видами геометрических преобразований (на основе анализа учебника [113]).

Результатом этой работы может быть заполнение таблицы (табл. 15).

Таблица 15

Название вида геометрического преобразования	Основные понятия, связанные с его изучением	Свойства геометрического преобразования
Центральная симметрия ...	Центр симметрии. Центрально-симметричные фигуры (точки) относительно центра. Центрально-симметричная фигура	Преобразование симметрии относительно точки является движением. (Все свойства движения применимы к центральной симметрии)

Необходимо обращать внимание на задание того или иного вида преобразования, отдельно оговаривать набор умений, которые формируются у учащихся при рассмотрении видов преобразований.

Затем необходимо выяснить, какие виды преобразований рассматриваются в пропедевтическом курсе геометрии (V — VI классы), какие знания и умения формируются при их рассмотрении.

Задание 1. Выполните анализ системы задач, помещенных после пунктов «Центр симметрии» и «Ось симметрии» (см. [40]).

Итогом работы может быть заполнение таблицы (табл. 16).

Таблица 16

Вид преобразования	Способ задания (на координатной плоскости, в пространстве)	Теоретический материал, при рассмотрении которого используются свойства прео6разования

Задание 2. Выполните анализ решения задачи, текст которой приведен в задании 3 для самостоятельной работы.

Выделите этапы решения этой задачи методом геометрических преобразований. Выделите умения, которыми должны овладеть учащиеся, чтобы использовать метод при решении данной задачи.

Разработайте методику поиска решения данной задачи.

После этого переходите к анализу системы задач, помещенных после § 9 учебника [113]. Выделите задачи, направленные на усвоение знаний о геометрических преобразованиях; задачи, решаемые методом геометрических преобразований.

Определите количественное соотношение этих задач и обоснуйте его.

Для получения необходимых обобщений об изучении метода геометрических преобразований в школе выполните логико-дидактический анализ материала, связанного с геометрическими преобразованиями в неполной средней школе.

Самостоятельная работа

1. Составьте список основных понятий, используемых в теории геометрических преобразований, и основных свойств отдельных геометрических преобразований, рассматриваемых в школьном курсе математики.

2. Выделите понятия в пропедевтическом и систематическом курсах геометрии, которые вводятся с помощью геометрических преобразований (см. [113]).

Выделите теоретический материал, при изучении которого используется метод геометрических преобразований.

3. Решите задачу, использовав метод геометрических преобразований, и выделите основные этапы ее решения.

Задача. Точка В лежит между точками А и С. По одну сторону от прямой АС построены равносторонние треугольники АЕВ и BFC. Доказать, что треугольник с вершинами в серединах отрезков AF и ЕС и точке В равносторонний.

4. Выполните логико-математический анализ теоретического материала § 9 из учебника [113].

5. Выполните анализ системы задач к § 9 учебника [113]. Выделите и решите задачи, в которых целесообразно использовать метод геометрических преобразований.

Индивидуальные задания

1. Выделите типы задач, используемые для формирования понятия о геометрических преобразованиях фигуры: а) в учебнике [23]; б) в учебнике [24].

2. Установите особенности изучения метода геометрических преобразований по учебнику [45].

3. Приведите примеры использования метода геометрических преобразований при изучении курса алгебры.

Литература: [40], [45], [113], [125], [18].

Лабораторная работа № 19

Тема. Методы дифференциального исчисления в школьном курсе математики.

Цели. 1. Актуализировать знания о методе дифференциального исчисления.

2. Определить место, цели и значение изучения метода дифференциального исчисления в школе.

3. Показать, что рассматриваемый метод — важнейший аппарат изучения естественных наук и математики.

4. Рассмотреть возможность применения метода при изучении математики.

5. Установить межпредметные связи.

Оборудование. Диафильмы «Непрерывные функции», 07-3-446; «Предел функции. Производная», 07-3-139.

Основное содержание

I. Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие методические задачи:

1. Установить содержание метода дифференциального исчисления.

2. Установить цели изучения этого метода в школьном курсе «Алгебра и начала анализа».

3. Определить знания и умения, которыми должны овладеть учащиеся при изучении метода.

4. Уточнить содержание и уровень изложения соответствующего учебного материала, выделив «ядерный» и сопутствующий (неосновной) материал.

Одна из задач курса «Алгебра и начала анализа» заключается в завершении изучения функциональной линии курса алгебры неполной средней школы, где учащиеся знакомятся с основными понятиями, результатами, методами математического анализа в объеме, который позволяет исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи.

Общая учебная задача, которая может быть поставлена при изучении элементов математического анализа, - изучить метод, позволяющий применять понятие производной к решению различных учебно-практических задач.

Без понимания метода математического анализа невозможно разобраться в естественных науках, в технической и научно-популярной литературе. Это обусловлено тем, что математика проникает во все области деятельности человека.

Фундаментальным методом математического анализа является дифференциальное исчисление.

Основная идея метода дифференциального исчисления состоит в том, что, зная функцию и указав точку (или не указывая ее), можно дать локальную характеристику изменения функции при изменении аргумента.

Метод дифференциального исчисления выступает методом математического анализа, так как с его помощью изучаются свойства различных классов функций. Кроме того, производная выступает инструментом и языком, на котором описываются многие процессы естествознания и техники, исследуются и изучаются многие явления реального мира.

Математика применяется в естествознании и технике для расчетов и количественных характеристик. Но получить расчетную формулу, например, траектории ракеты или прочности балки трудно Здесь и используется аппарат математического анализа, который дает возможность по исследованию бесконечно малых элементов линий (поверхностей) — дифференциальное исчисление — в результате получить требуемые формулы для объекта в целом — интегральные исчисления.

Обращение к бесконечно малым дает возможность «кусок» кривой заменить отрезком (секущей или касательной), установить какие-либо закономерности, используя отрезки, проще, чем дуги кривых.

II. Выяснив суть метода дифференциального исчисления, необходимо обратить внимание на образовательные, развивающие и воспитательные цели изучения рассматриваемого метода:

- систематизировать знания о функциях, которые имеются у учащихся к началу изучения темы;

- ознакомить с новым методом исследования свойств функции;

- показать применение нового метода исследования свойств функций к решению различных прикладных задач;

- разъяснить учащимся, что метод дифференциального исчисления — мощнейший аппарат познания законов природы, и раскрыть роль этого аппарата для практики;

- выявить широкие возможности более глубокого и всестороннего воспитания диалектико-материалистического мировоззрения.

Указанных целей можно достичь после самостоятельного анализа соответствующих разделов программы по математике для средней общеобразовательной школы [119].

III. Анализ программы и учебного пособия по математике дает основание дать правильные ответы на следующие вопросы:

Задание 1.

1) Каков понятийный аппарат метода дифференциального исчисления?

2) В чем специфика этого метода математического анализа?

3) Какие знания и умения необходимо актуализировать для сознательного и прочного овладения методом дифференциального исчисления?

4) Какие знания и умения формируются при изучении метода?

Детальное обсуждение поставленных вопросов приводит к следующим выводам:

Сознательное усвоение метода дифференциального исчисления невозможно без введения фундаментальных понятий, таких, как приращение аргумента и приращение функции, отношение этих приращении, производная, тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в указанной точке, предельный переход.

Метод дифференциального исчисления является основным методом исследования различных процессов, решения различного класса задач, поэтому учащимся необходимо знание всех названных понятии. Решение задач позволяет сделать интуитивно ясными такие понятия, как непрерывность функции, производная, геометрический и механический смысл производной и применение ее к приближенным вычислениям; сформулировать критерии возрастания и убывания функции, признаки минимума и максимума. Весьма важным является решение учебно-практических задач средствами математического анализа, так как на этом материале учащихся знакомят с построениями математических моделей и их решениями.

Для успешного и сознательного овладения методом необходимо актуализировать знания и умения учащихся.

Знания:

- функции числового аргумента;

- приращения аргумента и функции;

- скорости неравномерного движения, средней скорости, мгновенной скорости;

- таблицы производных элементарных функций.

Умения:

- находить значение функции в точке;

- находить приращение функции по заданному приращению аргумента;

- находить отношение приращения функции к приращению аргумента при заданных условиях;

- находить среднюю скорость неравномерного движения.

В результате изучения метода учащиеся должны приобрести знания:

- определений понятия производной, точки максимума, точки минимума;

- алгоритма нахождения производной, составления уравнения касательной к кривой в указанной точке;

- плана исследования функций и построения графика;

- основных формул дифференцирования, включая сложную функцию;

- геометрического смысла производной и интеграла;

- физического смысла производной;

- достаточного условия возрастания (убывания) функции.

Считается, что учащиеся овладели методом, если в результате изучения материала у них удалось сформировать умения:

- находить производную функцию в точке и на отрезке;

- использовать понятие производной для исследования свойств функции;

- устанавливать характер изменения функции по знаку производной;

- выявлять точки, подозрительные на экстремум;

- вычислять наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке;

- применять метод дифференциального исчисления для решения сюжетных задач (математических и физических);

- применять понятие производной для приближенных вычислений.

IV. Указанные выше цели и поставленные задачи дают возможность выделить «ядерный» и сопутствующий материал, который позволит учащимся усвоить рассматриваемый метод.

«Ядерным» материалом являются определения понятия производной и алгоритм нахождения производной.

Сопутствующим материалом в первом случае — примеры вычисления производных элементарных функций, дифференцируемость функций.

Обучение методу дифференциального исчисления не должно сводиться к сообщению определения производной и на основе определений вычислениям производной. Чтобы учащиеся убедились, что дифференцирование действительно является методом математического анализа, необходимо рассмотреть различные по фабуле и требованиям задачи из разных областей знаний.

Приведем примеры таких задач:

Задача 1. Определить скорость тела, движущегося прямолинейно по закону (м), в момент времени t=5 с.

Задача 2. В тонком неоднородном стержне длиной 35 см масса (в граммах) распределена по закону , где l — длина части стержня, отсчитываемая от начала. Найти плотность в точке, отстоящей от начала на 3 см.

Задача 3. Закон свободного падения тела в пустоте определяется формулой , где g — постоянная величина. Найти скорость этого движения в некоторый фиксированный момент времени .

Анализ решения приведенных задач позволяет обнаружить, что при поиске ответов на поставленные требования каждый раз выполнялась одна и та же последовательность операций. Можно привести еще много задач из техники, физики, для решения которых необходимо вычислять предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Оказалось целесообразным выделить такой предел, дать ему термин «производная» и изучить его основные свойства. После введения термина формулируется определение производной, которое является конструктивным, что позволяет «построить» алгоритм вычисления производной в точке.

На основе определения производной формулируются теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного двух функций, рассмотрен частный случай дифференцирования сложной функции («внутренняя» функция — линейная) и постулируется, что это верно и в общем случае.

3адание 2.

1) Установите, какие знания необходимо актуализировать для понимания геометрического смысла производной.

2) Составьте серию задач, с помощью которой раскрывается геометрический смысл производной.

3) Выясните, какие свойства функций изучаются с помощью производной.

4) Составьте серию задач, с помощью которой вырабатывается аппарат данного метода.

5) Выясните, какие формы контроля эффективно использовать для определения сформированности метода.

Перечисленные задания для самостоятельной работы предполагают групповую форму работы.

V. Далее рассматривается возможность применения метода дифференциального исчисления при изучении различных вопросов математики, раскрывается методика установления межпредметных связей.

Реализовать эти цели можно при решении следующих методических задач:

3адание 3.

1) Разработайте серию тестовых задач на экстремум, которая позволит выяснить алгоритмическое предписание, с помощью которого в дальнейшем будет осуществляться решение таких задач.

2) Разработайте методику формирования умения применять изученный метод для составления уравнения касательной к графику функции в указанной точке, определите шаги алгоритма.

3) Установите, на каких задачах целесообразно показать применение метода дифференциального исчисления для приближенных вычислений значений функции.

4) Приведите примеры физических, технических задач, на которых можно показать установление межпредметных связей.

В результате анализа нескольких серий задач формулируется предписание решения текстовых задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения. Предписание имеет следующие шаги:

- установить переменные и постоянные, используемые в задаче, и установить, какая из переменных исследуется;

- составить математическую модель задачи (в данном случае функцию, наибольшее или наименьшее значение которой требуется определить);

- найти производную функции;

- вычислить критические точки функции;

- выбрать критические точки, которые принадлежат промежутку;

- вычислить значение функции в критических точках, лежащих внутри промежутка и на его концах;

- установить вид экстремума в критических точках внутри промежутка с помощью достаточного-условия экстремума;

- из всех полученных чисел выбрать наименьшее (наибольшее);

- записать ответ.

Следует обратить внимание на то, что полученное предписание не будет усвоено учащимися формально, если оно является следствием решения серии математических задач.

Результатом решения второй методической задачи является предписание, состоящее из шагов:

- найти производную функции;

- вычислить значение производной в указанной точке;

- сравнить значение производной с нулем;

а) если значение производной в данной точке вычислить нельзя, то либо касательную в этой точке провести нельзя, либо касательная перпендикулярна оси x, ее уравнение ;

б) если значение производной равно нулю, то касательная в данной точке параллельна оси x, ее уравнение ;

в) если производная существует и ее значение отлично от нуля, то в этой точке можно провести касательную к кривой, наклоненную к оси x;

- вычислить значение функции в указанной точке;

- составить выражения и ;

- из полученных выражений составить равенство.

Остановиться необходимо на частичном решении четвертой методической задачи, привести примеры только применения производной к решению физических и технических задач.

3адание 4. Какими математическими задачами можно продолжить предложенный список математических задач и какова должна быть методика их решения, чтобы можно было считать, что учащиеся понимают значение метода математического анализа для других областей знаний?

Примеры задач:

1. Вычислить работу электрического тока, напряжение которого меняется со временем.

2. Длина стержня равна 10 см, а его линейная плотность в точке, находящейся на расстоянии x см от левого конца, равна (г/см). Определить массу стержня.

Итоговое задание. Разработайте содержание учебного материала с при влечением данных из истории развития математического анализа, на основе которого можно показать различие методов изучения свойств функций элементарными средствами (с помощью уравнений и неравенств) и с помощью методов математического анализа.

Литература: [5], [9], [10], [50], [96], [115], [37], [70].

Глава III

Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 15 16 17 Следующая