ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ, РАСКРЫВАЮЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ В ШКОЛЕ

В предлагаемых лабораторных работах рассматриваются функции методов математики, их содержание и место в школьном предмете математики и методические особенности более эффективного использования методов математики в процессе обучения математике.

Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению математических методов, сделаем несколько замечаний о функциях и содержании понятия «метод» в процессе обучения вообще. Для этого надо ответить на следующие вопросы:

1) Что понимается под методом и какие компоненты в нем можно выделить?

2) Почему нужно и важно специально изучать в школе и вузе определенные системы элементов учебного материала на уровне метода?

3) Каким образом следует конкретизировать общее понятие «метод» в случае обращения к методам математики, изучаемым в школе?

Остановимся на каждом из перечисленных вопросов.

1. В теории научного познания метод трактуется как система последовательных действий, которые приводят к достижению результата, соответствующего намеченной цели. Эта последовательность действий может иметь целью как теоретический результат, так и практическую реализацию. Значит, метод выступает в качестве способа познания, способа практической деятельности. Способ познания, способ практической деятельности всегда направлен на определенный объект; поэтому с любым методом обязательно соотносят его объект (познаваемый, преобразуемый).

Таким образом, в методе выделяют две стороны: объективную и субъективную. Первая обращена к гносеологической природе метода и означает, что он (метод) основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта, адекватен сущности объекта. Вторая сторона связана с деятельностью по применению метода, с конкретной целью деятельности над изучаемым объектом.

Выделение в методе двух указанных сторон создает условия для решения вопроса о его компонентах. По нашему мнению, ответ на этот вопрос не является однозначным. Он зависит от того, какая из сторон метода в том или ином случае является ведущей. Поэтому можно говорить о компонентах метода, связанных, во-первых, с объективной его стороной (назовем их гносеологическими компонентами); во-вторых, с субъективной стороной (деятельностные компоненты). Совокупность гносеологических и деятельностных компонентов и дает нам представление о компонентах метода в широком смысле.

Что же имеют в виду, говоря о компонентах метода? Рассмотрим этот вопрос с точки зрения гносеологии и с точки зрения деятельности.

Объективная сторона метода, как уже подчеркивалось, связана с проникновением в сущность и закономерности познаваемого, преобразуемого объекта. Необходимым условием этого является определенная система знаний, без которых метод не существует. Такая система должна содержать, во-первых, исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятий, связи между ними); во-вторых, знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, установление неизвестных до этого свойств). Заметим, что указанные знания в определенной мере зависят от предполагаемого результата использования метода, соответствующего поставленной цели. В-третьих, система должна включать знания о сфере приложения метода (круг задач, решаемых с помощью данного метода, их виды и т.д.); в-четвертых, знания об особенностях его использования в зависимости от сферы приложения. Перечисленные компоненты и составляют гносеологическую основу метода.

К деятельностным компонентам метода относятся, с одной стороны, определенная система действий (зависящая от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом), реализация которой ведет к достижению результата (соответствующего поставленной цели}, с другой стороны, средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные).

2. Обратимся к школьному предмету математики. Как известно, в нем выделяются теоретические знания, которыми должны владеть учащиеся, и задачи, выступающие как средство усвоения теоретических знаний и как специальный объект, цель изучения для формирования подобия математической деятельности. Среди прочих элементов теоретические знания включают методы математики как науки (общий дедуктивный метод математики и частные методы: координатный, векторный, геометрических преобразований, уравнений и неравенств и др.).

Почему же важно усвоение учащимися методов математики и понимание методических особенностей этого усвоения? Ответ на этот вопрос предполагает, по нашему мнению, установление их общеобразовательного, мировоззренческого значения.

С образовательной точки зрения знакомство и овладение методом позволяет учащимся и студентам понять, каким же методом наука математика получает достоверные для нее факты. В одних науках таким методом может быть корректно поставленный эксперимент (например, в физике), в других — правильно организованное наблюдение (например, в биологии). В математике факт получает статус научного (достоверного) только в том случае, если он доказан одним из математических методов. Понимание этой особенности науки математики является необходимым условием ее сознательного изучения.

С общеобразовательной, содержательной точки зрения методы математики выполняют в определенной мере и функцию обобщения, систематизации тех знаний, которые с данным методом так или иначе связаны. Уже имеющиеся знания в результате осмысления их через призму метода «поворачиваются» к учащимся как бы с другой стороны, что может способствовать их углублению, включению в новые связи, отношения и т.п. Кроме того, благодаря изучению методов математики учащиеся получают конкретные приемы решения ряда математических задач.

Мировоззренческое значение методов математики определяется в первую очередь их интегрирующей функцией: с одной стороны, появляется возможность через приложения методов показать проникновение математики в другие науки, в практику; с другой стороны, выделить то общее, что объединяет все методы математики (в определенной мере единый подход в применении, этапы применения методов), а через них — составляющие школьного предмета математики (алгебру, геометрию, элементы математического анализа).

Изучение методов математики важно и в методологическом отношении, ибо представляет возможность для раскрытия содержания понятия «метод» И выделения компонентов метода.

3. В соответствии с перечисленными выше компонентами метода конкретизация общего понятия «метод» при обращении к методу математики, изучаемому в школе, может идти по следующим линиям: уточнение цели метода; установление системы знаний, составляющих гносеологическую основу метода; указание определенной последовательности действий, средств осуществления деятельности, реализация которых приведет к достижению цели.

Но раскрытие только содержания методов математики недостаточно для того, чтобы установить хотя бы некоторые общие положения методики их формирования у учащихся. Следует также определить, формирование каких компонентов конкретного метода должно предшествовать усвоению других, какие средства при этом целесообразно использовать и т.д.

Решение указанной методической задачи связано с теми функциями, которые выполняют методы математики в процессе обучения: с одной стороны, методы математики выступают как цель изучения, а с другой, как средство изучения математического материала (в том числе средство решения задач). Очевидно, чтонекоторый метод может стать одним из средств изучения математики лишь в том случае, если школьники умеют применить его при решении конкретно-практических задач. А это означает; что в процессе формирования метода математики учитель и учащиеся неизбежно сталкиваются с необходимостью решения, по крайней мере, двух задач (для учащихся это учебные задачи). Первая состоит в том, чтобы школьники овладели содержательной стороной метода, а вторая заключается в обучении применению метода.

Поскольку с любым методом связаны его компоненты, то появляется возможность выделения тех из них, которые в большей мере должны быть «задействованы» в процессе решения двух указанных задач.

По нашему мнению, решение первой задачи предполагает усвоение школьниками деятельностных компонентов метода (соответствующей системы действий) и тех гносеологических компонентов, без опоры на которые не могут быть реализованы деятельностные компоненты. Вторая задача (обучение применению метода) может быть решена при условии, если школьники усвоят гносеологические компоненты метода, связанные с установлением новых свойств исследуемого объекта, видов задач, их особенностей, научатся выбирать метод, который целесообразно использовать при решении конкретной задачи: поэтому обучение методу — это обучение выбору метода.

Заметим, что решение двух указанных задач осуществляется во взаимосвязи и представляет собой достаточно длительный процесс, в котором нельзя четко выделить этапы решения каждой задачи. Результатом этого процесс а должно быть усвоение школьниками методов математики на уровне применения, что предусмотрено программой для средней школы.

Лабораторные работы, посвященные данной теме, показывают, какнекоторые общие методы математики реализованы в школьных учебниках математики и как возможно раскрыть их сущность учащимся.

Целесообразность рассмотрения вопроса об обучении учащихся методам математики объясняется, с одной стороны, тем, что методической литературе этот вопрос в достаточно полном объеме практически не освещается; с другой стороны, изучение опыта работы учителей показывает, что они не всегда могут выделить содержание методов математики, изучаемых в школе, а это отрицательно сказывается на выводах о вариантах методики их формирования.

Следует также отметить и методический аспект значения математических методов: обращение к ним способствует формированию ряда методических умений, связанных, например, с целеполаганием и планированием деятельности учителя и деятельности учащихся (в частности, постановка учебной задачи, выделение действий, которыми должны овладеть учащиеся, и др.), переосмыслением имеющихся знаний по математике, методике преподавания математики, их систематизацией и обобщением.

Одна из основных целей обучения математическим методам (и вообще обучения математике в средней школе) состоит в показе возможностей использования математики для решения практических задач, в обучении школьников реализации этих возможностей на производстве, в научной работе, в быту.

Самым существенным компонентом процесса решения практических задач методами математики является математическое моделирование. Поэтому достижение указанной цели должно быть обязательно связано с формированием у учащихся умений строить и исследовать математические модели.

Целенаправленная работа по реализации поставленной цели будет способствовать овладению моделированием не только как методом решения практических задач, но и как методом научного познания, будет решать вопросы формирования у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, понимания значимости абстрактных научных понятий (иначе научных моделей) в познании реальной действительности.

В настоящее время моделирование очень широко при меняется не только в научных исследованиях, но и при решении задач, возникающих в технике, экономике, геологии, медицине и т.д. Поэтому понятия «моделирование» и «модель» рассматривают в широком смысле.

Моделью некоторого объекта А (оригинала) называют объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, выбранный или специально построенный человеком для одной (по крайней мере) из следующих целей:

1) заменить оригинал А в мысленном или реальном действии. Такая замена производится тогда, когда для действия в данных условиях объект В более удобен (в этом случае мы имеем дело с моделью-заместителем);

2) создать представление об оригинале А с помощью объекта В (модель-представление);

3) истолковать объект А в виде объекта В (модель-интерпретация);

4) исследовать объект А с помощью объекта В, посредством объекта В (исследовательская модель).

Обычно человек выбирает или строит модель для одной из перечисленных целей, поэтому вид модели именно этой целью и определяется. Но модель может быть использована, как правило, одновременно и для других целей. Например, для решения текстовой задачи строим модель той ситуации, которая в задаче отражена, - уравнение. Это уравнение является исследовательской моделью (оно дает нам возможность установить ряд свойств, характеризующих заданную ситуацию). Но эта модель одновременно служит и моделью-заместителем (в процессе решения задачи она замещает ситуацию), и моделью-представлением (дает нам обобщенное представление о рассматриваемой задаче), и моделью-интерпретацией (уравнение на языке алгебры фиксирует и истолковывает существенные особенности предложенной в задаче ситуации).

Говоря о моделировании, имеют в виду деятельность по построению (или выбору) моделей для указанных выше целей.

Математическая модель — это специальное описание (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально-логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией (копия построена нами), которая в математической форме выражает основные закономерности, свойства изучаемого объекта.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

I. Формализация — перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

II. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

III. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного математического решения).

Чаще всего математическая модель представляет собой несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности.

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты; поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования.

Как уже указывалось, формировать у учащихся умения, связанные с построением и исследованием моделей (в том числе и математических), необходимо. А для этого нужно говорить об использовании моделирования в обучении, причем речь может идти о различных аспектах такого использования:

первый — моделирование выступает и как содержание, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, и как способ познания, которым должны овладеть школьники;

второй — моделирование является одним из учебных средств, с помощью которого формируется учебная деятельность учащихся.

Реализация первого аспекта использования моделирования в обучении предполагает:

- формирование у учащихся представлений о модельном характере изучаемых закономерностей, введение в содержание обучения понятий «математическая модель», «моделирование», установление сущности, роли моделирования в познании и т.д.;

- обучение школьников построению моделей, т.е. обучение действию моделирования.

Рассматривая второй аспект использования моделирования в обучении, необходимо подчеркнуть следующее. Моделирование, модели служат средством, с помощью которого происходит познание изучаемых объектов; значит, учащиеся должны уметь строить эти модели и пользоваться ими.

По цели использования в обучении учебное моделирование можно условно разделить на два вида:

- моделирование объектов изучения;

- моделирование действий и операций по изучению этих объектов.

Первый из указанных видов служит для выявления и фиксации (иногда в наглядно-действенной форме) тех общих отношений, которые отражают сущность, изучаемых явлений, объектов, процессов. Например, - теоретическая модель понятия «квадратное уравнение с одной переменной». Эта модель и ее конкретизации используются как для изучения теории квадратных уравнений вообще, так и для решения задач практического содержания.

Второй вид учебного моделирования применяется для выявления и фиксации (чаще в обозримой, наглядной форме) общей схемы действий и операций, связанных с решением определенного круга задач. В учебной модели этого вида показывается, какие действия, операции, в каком порядке (при каких условиях) нужно произвести, чтобы изучить определенный объект данного вида. По сути каждая такая модель — это схема деятельности по решению учебной задачи, связанной с изучением некоторого вида объектов.

Например, любое алгоритмическое предписание выполнения определенного действия есть соответствующая модель, которая выступает в роли учебной, если ставится задача изучения сущности, свойств и т.п. этого действия. А получение предписания, фиксация его — учебное моделирование второго вида.

Можно говорить, что первый вид учебного моделирования отражает предметную сторону учебной деятельности школьников, а второй — оперативную сторону. Так как в реальной учебной деятельности эти две стороны всегда выступают в единстве, то в подавляющем большинстве случаев учебные модели используются и как модели изучаемых объектов, и как модели действия для этого изучения.

Выделим умения, на основе которых школьники смогли бы самостоятельно строить модели, а затем, имея в виду результат работы с моделью и соотнося его с условием предложенной задачи, делать обоснованный вывод о решении исходной задачи. К таким умениям прежде всего следует отнести группы умений, связанных с выявлением, фиксацией тех общих отношений, которые отражают сущность изучаемых объектов, явлений;

записью выявленных отношении на языке той теории, в рамках которой будет решаться задача (с учетом конкретных условий, в которых эти отношения рассматриваются);

переводом полученных в ходе исследования модели результатов на язык, в котором была предложена исходная задача.

Метод математического моделирования находит непосредственное отражение в методах математики, конкретизируется в них.

Лабораторная работа № 14

Тема. Аксиоматический метод доказательства в школьном курсе математики.

Цель. Систематизировать знания и умения по основному методу доказательства в математике: раскрыть его содержание применительно к школьному уровню строгости доказательств и процесс доказательства; проследить этапы и конкретные приемы формирования данного метода в школе.

Оборудование. Таблицы, диафильм «Как устроена теорема» В.Г. Болтянского, кодопозитивы.

Основное содержание

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 11 12 13 14 15 16 Следующая